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//import UIKit
/*:
 # 中学２年の数学
*/
/*:
 ## 連立方程式
 */
do {
    // 例題17、あたりをつけるやり方(本来、こんなことはしない)
    let a = 2.0, b = 3.0, c = 30.0
    let d = 1.0, e = -1.0, f = -5.0
    
    for v in [
        [Double?]([ 1.0, nil ]),
        [Double?]([ 2.0, nil ]),
        [Double?]([ 3.0, nil ]),
        [Double?]([ nil, 6.0 ]),
        [Double?]([ nil, 4.0 ]),
        ] {
        var x = 0.0, y = 0.0
        if v[0] != nil {
            x = v[0]!
            y = (c - a*x)/b
        }
        else if v[1] != nil {
            y = v[1]!
            x = (c - b*y)/a
        }
        let y2 = (f - d*x)*e
        print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y), (2) 𝑦=\(y2), \(y == y2 ? "正解" : "不正解")")
    }
    /*
     x=1.0, y=9.333333333333334, (2) y=6.0, 不正解
     x=2.0, y=8.666666666666666, (2) y=7.0, 不正解
     x=3.0, y=8.0, (2) y=8.0, 正解
     x=6.0, y=6.0, (2) y=11.0, 不正解
     x=9.0, y=4.0, (2) y=14.0, 不正解
     */
}
/*
 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (1)
 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 … (2)
 の連立方程式を解く

式(2)×𝑎/𝑑
 𝑎/𝑑⋅𝑑𝑥 + 𝑎/𝑑⋅𝑒𝑦 = 𝑎/𝑑⋅𝑓
 𝑎𝑥 + 𝑎/𝑑⋅𝑒𝑦 = 𝑎/𝑑⋅𝑓 … (2')
 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (1)
(2')-(1)
 𝑎/𝑑⋅𝑒𝑦 - 𝑏𝑦 = 𝑎/𝑑⋅𝑓 - 𝑐
 (𝑎/𝑑⋅𝑒 - 𝑏)𝑦 = 𝑎/𝑑⋅𝑓 - 𝑐
 𝑦 = (𝑎𝑓/𝑑 - 𝑐)/(𝑎𝑒/𝑑 - 𝑏)
   = 𝑑(𝑎𝑓/𝑑 - 𝑐)/(𝑑(𝑎𝑒/𝑑 - 𝑏))
   = (𝑎𝑓 - 𝑐𝑑)/(𝑎𝑒 - 𝑏𝑑) … (3)
式(1)に式(3)を代入
 𝑎𝑥 + 𝑏((𝑎𝑓 - 𝑐𝑑)/(𝑎𝑒 - 𝑏𝑑)) = 𝑐
 𝑎𝑥 = 𝑐 - 𝑏((𝑎𝑓 - 𝑐𝑑)/(𝑎𝑒 - 𝑏𝑑))
 𝑥 = 𝑐/𝑎 - 𝑏((𝑎𝑓 - 𝑐𝑑)/(𝑎𝑒 - 𝑏𝑑))/𝑎
   = 𝑐/𝑎 - (𝑎𝑏𝑓 - 𝑏𝑐𝑑)/(𝑎^2𝑒 - 𝑎𝑏𝑑) … (4)
 */
do {
    // 例題17
    let a = 2.0, b = 3.0, c = 30.0
    let d = 1.0, e = -1.0, f = -5.0

    let x = c/a - (a*b*f - b*c*d)/(a*a*e - a*b*d)
    let y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d)
    print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)") // x=3.0, y=8.0
}
do {
    // 練習17
    let a = 2.0, b = 1.0, c = 10.0
    let d = 1.0, e = 1.0, f = 7.0

    let x = c/a - (a*b*f - b*c*d)/(a*a*e - a*b*d)
    let y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d)
    print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)") // x=3.0, y=4.0
}
/*
 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (1)
 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = f … (2)
 の連立方程式を解く、別解

 式(1)×𝑑/𝑎
 𝑑/𝑎⋅𝑎𝑥 + 𝑑/𝑎⋅𝑏𝑦 = 𝑑/𝑎⋅𝑐
 𝑑𝑥 + 𝑑/𝑎⋅𝑏𝑦 = 𝑑/𝑎⋅𝑐 … (1')
 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 … (2)
 (1')-(2)
 𝑑/𝑎⋅𝑏𝑦 - 𝑒𝑦 = 𝑑/𝑎⋅𝑐 - 𝑓
 (𝑑/𝑎⋅𝑏 - 𝑒)𝑦 = 𝑑/𝑎⋅𝑐 - 𝑓
 𝑦 = (𝑑/𝑎⋅𝑐 - 𝑓)/(𝑑/𝑎⋅𝑏 - 𝑒)
   = 𝑎(𝑑/𝑎⋅𝑐 - 𝑓)/(𝑎(𝑑/𝑎⋅𝑏 - 𝑒))
   = (𝑐𝑑 - 𝑎𝑓)/(𝑏𝑑 - 𝑎𝑒) … (3)
 式(2)に式(3)を代入
 𝑑𝑥 + 𝑒((𝑐𝑑 - 𝑎𝑓)/(𝑏𝑑 - 𝑎𝑒)) = 𝑓
 𝑑𝑥 = 𝑓 - 𝑒((𝑐𝑑 - 𝑎𝑓)/(𝑏𝑑 - 𝑎𝑒))
 𝑥 = 𝑓/𝑑 - 𝑒((𝑐𝑑 - 𝑎𝑓)/(𝑏𝑑 - 𝑎𝑒))/𝑑
   = 𝑓/𝑑 - (𝑐𝑑𝑒- 𝑎𝑒𝑓)/(𝑏𝑑^2 - 𝑎𝑑𝑒)
 */
do {
    // 例題17
    let a = 2.0, b = 3.0, c = 30.0
    let d = 1.0, e = -1.0, f = -5.0

    let x = f/d - (c*d*e - a*e*f)/(b*d*d - a*d*e)
    let y = (c*d - a*f)/(b*d - a*e)
    print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)") // x=3.0, y=8.0
}
do {
    // 練習17
    let a = 2.0, b = 1.0, c = 10.0
    let d = 1.0, e = 1.0, f = 7.0

    let x = f/d - (c*d*e - a*e*f)/(b*d*d - a*d*e)
    let y = (c*d - a*f)/(b*d - a*e)
    print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)") // x=3.0, y=4.0
}
print("連立方程式: 連立方程式(a:_b:_c:_d:_e:_f:_) を用いる")
//: この手続きを関数にして、再利用可能にする
func 連立方程式(a: Double, b: Double, c: Double, d: Double, e: Double, f: Double) -> (x: Double, y: Double) {
    return (x: c/a - (a*b*f - b*c*d)/(a*a*e - a*b*d), y: (a*f - c*d)/(a*e - b*d)) // 解なしのときは (inf, inf) を返す
}
do {
    for (x, y) in [
        // 例題18
        連立方程式(a: 1.0, b: -3.0, c: 7.0, d: 2.0, e: 3.0, f: -4.0),
        連立方程式(a: 1.0, b: 4.0, c: 17.0, d: 1.0, e: 2.0, f: 11.0),
        連立方程式(a: 2.0, b: -3.0, c: 4.0, d: 3.0, e: -7.0, f: 5.0),
        // 練習18
        連立方程式(a: 1.0, b: 1.0, c: 3.0, d: 3.0, e: -1.0, f: -9.0),
        連立方程式(a: 3.0, b: -2.0, c: -1.0, d: 3.0, e: 4.0, f: 11.0),
        連立方程式(a: 5.0, b: -3.0, c: 2.0, d: 7.0, e: -4.0, f: 3.0),
        // 例題19
        連立方程式(a: 2.0, b: -3.0, c: -7.0, d: 1.0, e: 1.0, f: 9.0),
        連立方程式(a: 1.0, b: 2.0, c: 3.0, d: 2.0, e: -1.0, f: -4.0),
        連立方程式(a: 1.0, b: -1.0, c: 8.0, d: 2.0, e: 1.0, f: 7.0),
        // 練習19
        連立方程式(a: 7.0, b: -1.0, c: 1.0, d: -3.0, e: -1.0, f: -4.0),
        連立方程式(a: 2.0, b: -1.0, c: -4.0, d: 3.0, e: 2.0, f: 15.0),
        // 応用
        連立方程式(a: 1.0, b: 1.0, c: 1.0, d: 1.0, e: 1.0, f: -1.0),
        ] {
        print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)")
    }
    /*
     x=1.0, y=-2.0
     x=5.0, y=3.0
     x=2.6, y=0.4
     x=-1.5, y=4.5
     x=1.0, y=2.0
     x=1.0, y=1.0
     x=4.0, y=5.0
     x=-1.0, y=2.0
     x=5.0, y=-3.0
     x=0.5, y=2.5
     x=1.0, y=6.0
     x=inf, y=-inf
     */
}
print("逆数の連立方程式: 逆数の連立方程式(a:_b:_c:_d:_e:_f:_) を用いる")
//: この手続きを関数にして、再利用可能にする
func 逆数の連立方程式(a: Double, b: Double, c: Double, d: Double, e: Double, f: Double) -> (x: Double, y: Double) {
    let (x, y) = 連立方程式(a: a, b: b, c: c, d: d, e: e, f: f)
    return (x: 1.0/x, y: 1.0/y) //
}
do {
    for (x, y) in [
        // 例題23
        逆数の連立方程式(a: 3.0, b: 2.0, c: 17.0, d: 4.0, e: -5.0, f: -8.0),
        // 練習23
        逆数の連立方程式(a: 1.0, b: 1.0, c: 5.0, d: 2.0, e: -5.0, f: -11.0),
        // 応用
        逆数の連立方程式(a: 1.0, b: 1.0, c: 1.0, d: 1.0, e: 1.0, f: -1.0),
        ] {
        print("𝑥=\(x), 𝑦=\(y)")
    }
    /*
     x=0.33333333333333326, y=0.25
     x=0.5, y=0.3333333333333333
     x=0.0, y=-0.0
     */
}
/*
 解から係数を求める

 𝑎𝑥 - 𝑏𝑦 = 𝑐 … (1)
 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑 … (2)
 の連立方程式において解𝑥, 𝑦が与えられたときの𝑎, 𝑏を求める

 𝑥𝑎 - 𝑦𝑏 = 𝑐 … (1)
 𝑦𝑎 + 𝑥𝑏 = 𝑑 … (2)
 式(2)×𝑥/𝑦
 𝑥/𝑦⋅𝑦𝑎 + 𝑥/𝑦⋅𝑥𝑏 = 𝑥/𝑦⋅𝑑
 𝑥𝑎 + 𝑥^2/𝑦𝑏 = 𝑥/𝑦⋅𝑑… (2')
 𝑥𝑎 - 𝑦𝑏 = 𝑐 … (1)
 (2')-(1)
 𝑥^2/𝑦𝑏 + 𝑦𝑏 = 𝑥/𝑦⋅𝑑 - 𝑐
 (𝑥^2/𝑦 + 𝑦)𝑏 = 𝑥/𝑦⋅𝑑 - 𝑐
 𝑏 = (𝑥/𝑦⋅𝑑 - 𝑐)/(𝑥^2/𝑦 + 𝑦)
   = 𝑦(𝑥/𝑦⋅𝑑 - 𝑐)/(𝑦(𝑥^2/𝑦 + 𝑦))
   = (𝑥𝑑 - 𝑦𝑐)/(𝑥^2 + 𝑦^2) … (3)
 式(1)に式(3)を代入
 𝑥𝑎 - 𝑦(𝑥𝑑 - 𝑦𝑐)/(𝑥^2 + 𝑦^2) = 𝑐
 𝑥𝑎 = 𝑐 + 𝑦(𝑥𝑑 - 𝑦𝑐)/(𝑥^2 + 𝑦^2)
 𝑎 = 𝑐/𝑥 + 𝑦(𝑥𝑑 - 𝑦𝑐)/(𝑥^3 + 𝑥𝑦^2)
 */
print("連立方程式と解から係数を求める(1)")
do {
    let x = 3.0, y = 5.0, c = -9.0, d = 19.0
    
    let a = c/x + y*(x*d - y*c)/(x*x*x + x*y*y)
    let b = (x*d - y*c)/(x*x + y*y)
    print("𝑎=\(a), 𝑏=\(b)") // a=2.0, b=3.0
}
/*
 解から係数を求める

 𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎 … (1)
 𝑐𝑥 + 𝑎𝑦 = 5𝑏 … (2)
 の連立方程式において解𝑥, 𝑦が与えられたときの𝑎, 𝑏を求める

 𝑎 - 𝑥𝑏 = 𝑑𝑦 … (1)
 -𝑦𝑎 + 5𝑏 = 𝑐𝑥… (2)
 式(2)×(-1/𝑦)
 𝑎 - 1/𝑦⋅5𝑏 = -1/𝑦⋅𝑐𝑥 … (2')
 𝑎 - 𝑥𝑏 = 𝑑𝑦 … (1)
 (2')-(1)
 -1/𝑦⋅5𝑏 + 𝑥𝑏 = -1/𝑦⋅𝑐𝑥 - 𝑑𝑦
 (-1/𝑦⋅5 + 𝑥)𝑏 = -1/𝑦⋅𝑐𝑥 - 𝑑𝑦
 𝑏 = (-1/𝑦⋅𝑐𝑥 - 𝑑𝑦)/(-1/𝑦⋅5 + 𝑥)
   = 𝑦(-1/𝑦⋅𝑐𝑥 - 𝑑𝑦)/(𝑦(-1/𝑦⋅5 + 𝑥))
   = (-𝑐𝑥 - 𝑑𝑦^2)/(-5 + 𝑥𝑦) … (3)
 式(1)に式(3)を代入
 𝑎 - 𝑥(-𝑐𝑥 - 𝑑𝑦^2)/(-5 + 𝑥𝑦) = 𝑑𝑦
 𝑎 = 𝑑𝑦 + 𝑥(-𝑐𝑥 - 𝑑𝑦^2)/(-5 + 𝑥𝑦)
 */
print("連立方程式と解から係数を求める(2)")
do {
    let x = 1.0, y = -1.0, c = 2.0, d = 4.0
    
    let a = d*y + x*(-c*x - d*y*y)/(-5 + x*y)
    let b = (-c*x - d*y*y)/(-5 + x*y)
    print("𝑎=\(a), 𝑏=\(b)") // a=-3.0, b=1.0
}
/*:
 ### 発展 連立３元一次方程式
 
	2𝑥 - 𝑦 - 𝑧 = 5
	3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 2
	4𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = -2
 を解きなさい
 
 #### 大学への数学
 大学では線形代数を学び、以上は「行列とベクトル」を用いて以下のように表されます

	𝑨𝒙 = 𝒃 ⇔
	[ 2 -1 -1 ][𝑥]   [ 5]
	[ 3  2  4 ][𝑦] = [ 2]
	[ 4  3  2 ][𝑧]   [-2]

 かぎ括弧は、本来３行にわたり縦に長い一つの括弧です。Playground では数式が表せないので以上のように表します。
 定数 𝑨 は 3×3 の行列、変数 𝒙 は3要素の縦ベクトル、定数 𝒃 は3要素の縦ベクトルです
 
 要素数 3 を 𝑛 として、任意の要素数の１次方程式を解くことも可能です。これを連立 𝑛 元一次方程式といいます
 
 そのとき用いられるアルゴリズムとして「ガウスの消去法」が挙げられます。手計算の手順と変わらないことがわかると思います
 */
func ガウスの消去法(A: [[Double]], b: [Double]) -> (A: [[Double]], x: [Double])
{
    let n = b.count
    var A = A, x = b
    var t = 0.0

    for k in 0 ..< n - 1 {
        for i in k + 1 ..< n {
            t = A[i][k] / A[k][k]
            for j in k + 1 ..< n {
                A[i][j] -= t * A[k][j]
            }
            x[i] -= t * x[k]
        }
    }
    for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
        t = x[i]
        for j in i + 1 ..< n {
            t -= A[i][j] * x[j]
        }
        x[i] = t / A[i][i]
    }
    return (A: A, x: x)
}
do {
    for (A, b) in [
        ([
            [ 2.0, -1.0, -3.0 ],
            [ 3.0, 2.0, 4.0 ],
            [ 4.0, 3.0, 2.0 ],
         ], [ 5.0, 2.0, -2.0 ]
        ), // 例題35
        ([
            [ 2.0, -3.0, -1.0 ],
            [ 5.0, 2.0, -3.0 ],
            [ 2.0, -4.0, -5.0 ],
         ], [ 3.0, -3.0, -4.0 ]
        ), // 練習35
        ([
            [ 1.0, 1.0, 0.0 ],
            [ 0.0, 1.0, 1.0 ],
            [ 1.0, 0.0, 1.0 ],
         ], [ -3.0, -1.0, 10.0 ]
        ),
        ] {
        print(A, ガウスの消去法(A: A, b: b))
    }
    /*
     以下のベクトル x が解
     [[2.0, -1.0, -3.0], [3.0, 2.0, 4.0], [4.0, 3.0, 2.0]] (A: [[2.0, -1.0, -3.0], [3.0, 3.5, 8.5], [4.0, 5.0, -4.142857142857142]], x: [2.0, -4.0, 1.0])
     [[2.0, -3.0, -1.0], [5.0, 2.0, -3.0], [2.0, -4.0, -5.0]] (A: [[2.0, -3.0, -1.0], [5.0, 9.5, -0.5], [2.0, -1.0, -4.052631578947368]], x: [1.0, -1.0, 2.0])
     [[1.0, 1.0, 0.0], [0.0, 1.0, 1.0], [1.0, 0.0, 1.0]] (A: [[1.0, 1.0, 0.0], [0.0, 1.0, 1.0], [1.0, -1.0, 2.0]], x: [4.0, -7.0, 6.0])
     */
}
//: [Next](@next)