Amazon でみつけた T シャツ とプリントされている数式について
条件付き確率 \(P(A\!\mid\!B) \equiv \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) の公式
\[
P(A\!\mid\!B) = \dfrac{P(B\!\mid\!A)P(A)}{P(B)}
\]
美術や建築で頻繁に現れる比率
\[
\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}2
\]
大きな階乗、あるいは、その拡張であるガンマ関数の近似式
\[
\begin{split}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \text{, where }n\to\infty\text{, }n\in\mathbb{N}\text{, }n! = \Gamma(n+1) = n\Gamma(n)\\
\Gamma(z) &\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\left(\frac{z}{e}\right)^z \text{, where }\lvert z\rvert\to\infty\text{, }z\in\mathbb{C}\text{, }\Gamma(z) = (z-1)! = \frac{z!}z
\end{split}
\]
関数の変化率を示すベクトル演算子
\[
\begin{split}
\nabla &= {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}}\\
\nabla &= \sum_{i=1}^n\hat{e}_i{\partial\over\partial x_i}\text{, where }\hat{e}_i\text{ is called standard basis.}
\end{split}
\]
正方行列の行列式 \(\det(A)\) に対するライプニッツの公式
\[
\det(A) = \sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\tau) \prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau(i)}
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod _{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}
\]
初項から第 \(n\) 項までの自然数の和を計算する式
\[
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2
\]
\(f(x)\) の時間平均は定数 \(B\) よりも常に小さいことを示す不等式
\[
B \gt \dfrac1T \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x
\]
指数関数 \(e^x\) の極限としての定義
\[
e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}n\right)^n
\]
指数関数 \(e^x\) のテイラー級数展開としての定義
\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}
\]
\(\operatorname{Card}(\cdot)\) は集合「\(\cdot\)」の濃度として、全標本空間 \(\Omega\) における事象 \(A\) が発生する確率 \(P(A)\)
\[
P(A) = \dfrac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}
\]
\(\sum\in\mathbb{C}\) において、解析接続による自然数のすべての総和
\[
\sum_{n=0}^\infty n = -\frac1{12}
\]
cf. 拙著、自然数の総和
対角化可能な形式の正方行列 \(A\)
\[
A = PDP^{−1}
\]
ここで、\(P\) は \(A\) の固有ベクトルを列として持つ行列、\(D\) は \(A\) の固有値を対角成分として持つ対角行列。
半整数値の階乗、ガンマ関数とガウス積分の関係
\[
\begin{split}
\left(\frac12\right)! &= \frac{\sqrt\pi}2\\
&= \Gamma\left(\frac12+1\right) = \frac12\Gamma\left(\frac12\right)\\
\Gamma\left(\frac12\right) &= \sqrt\pi
\end{split}
\]
\(n\) 個から \(k\) 個を選ぶ選び方の総数
\[
\binom{n}k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}
\]
\(x, f(x)\in\mathbb{R}\) におけるリーマン和による定積分の定義
\[
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty}\dfrac{b − a}n\sum_{k=1}^n f\left(a + k\dfrac{b - a}n\right)
\]
\(f(a)\) の導関数 \(f'(a)\) の定義
\[
f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a + h) + f(a)}h
\]
ガウス関数 \(e^{−x^2}\) の実数全体での広義積分
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt\pi
\]
平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma\) とする正規分布の確率分布関数
\[
f(x) = \dfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2}
\]
関数 \(f(t): \mathbb{R}\to\mathbb{R}, t\ge 0, s\in\mathbb{C}\) のラプラス変換の定義
\[
F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t
\]
関数 \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) のフーリエ変換の定義
\[
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\xi}
\]
ベクトル場の発散とその領域の表面積分の関係を表すガウスの定理
\[
\iiint_V = (\nabla\cdot\mathbf{F})\,\mathrm{d}V = \oiint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\mathbf{S}
\]
\(s\in\mathbb{C}\)、\(n\in\mathbb{N}\) におけるゼータ関数の定義
\[
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s}
\]
周期表 / Periodic Table
\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 \(\ce{{}_{\phantom{00}1}H}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}2}He}\) 2 \(\ce{{}_{\phantom{00}3}Li}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}4}Be}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}5}B}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}6}C}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}7}N}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}8}O}\) \(\ce{{}_{\phantom{00}9}F}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}10}Ne}\) 3 \(\ce{{}_{\phantom{0}11}Na}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}12}Mg}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}13}Al}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}14}Si}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}15}P}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}16}S}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}17}Cl}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}18}Ar}\) 4 \(\ce{{}_{\phantom{0}19}K}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}20}Ca}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}21}Sc}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}22}Ti}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}23}V}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}24}Cr}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}25}Mn}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}26}Fe}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}27}Co}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}28}Ni}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}29}Cu}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}30}Zn}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}31}Ga}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}32}Ge}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}33}As}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}34}Se}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}35}Br}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}36}Kr}\) 5 \(\ce{{}_{\phantom{0}37}Rb}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}38}Sr}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}39}Y}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}40}Zr}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}41}Nb}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}42}Mo}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}43}Tc}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}44}Ru}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}45}Rh}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}46}Pd}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}47}Ag}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}48}Cd}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}49}In}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}50}Sn}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}51}Sb}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}52}Te}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}53}I}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}54}Xe}\) 6 \(\ce{{}_{\phantom{0}55}Cs}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}56}Ba}\)
L
\(\ce{{}_{\phantom{0}72}Hf}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}73}Ta}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}74}W}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}75}Re}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}76}Os}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}77}Ir}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}78}Pt}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}79}Au}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}80}Hg}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}81}Tl}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}82}Pb}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}83}Bi}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}84}Po}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}86}Rn}\) 7 \(\ce{{}_{\phantom{0}87}Fr}\) \(\ce{{}_{\phantom{0}88}Ra}\)
A
\(\ce{{}_{104}Rf}\) \(\ce{{}_{105}Db}\) \(\ce{{}_{106}Sg}\) \(\ce{{}_{107}Bh}\) \(\ce{{}_{108}Hs}\) \(\ce{{}_{109}Mt}\) \(\ce{{}_{110}Ds}\) \(\ce{{}_{111}Rg}\) \(\ce{{}_{112}Cn}\) \(\ce{{}_{113}Nh}\) \(\ce{{}_{114}Fl}\) \(\ce{{}_{115}Mc}\) \(\ce{{}_{116}Lv}\) \(\ce{{}_{117}Ts}\) \(\ce{{}_{118}Og}\) L \(\ce{{}_{57}La}\) \(\ce{{}_{58}Ce}\) \(\ce{{}_{59}Pr}\) \(\ce{{}_{60}Nd}\) \(\ce{{}_{61}Pm}\) \(\ce{{}_{62}Sm}\) \(\ce{{}_{63}Eu}\) \(\ce{{}_{64}Gd}\) \(\ce{{}_{65}Tb}\) \(\ce{{}_{66}Dy}\) \(\ce{{}_{67}Ho}\) \(\ce{{}_{68}Er}\) \(\ce{{}_{69}Tm}\) \(\ce{{}_{70}Yb}\) \(\ce{{}_{71}Lu}\) A \(\ce{{}_{89}Ac}\) \(\ce{{}_{90}Th}\) \(\ce{{}_{91}Pa}\) \(\ce{{}_{92}U}\) \(\ce{{}_{93}Np}\) \(\ce{{}_{94}Pu}\) \(\ce{{}_{95}Am}\) \(\ce{{}_{96}Cm}\) \(\ce{{}_{97}Bk}\) \(\ce{{}_{98}Cf}\) \(\ce{{}_{99}Es}\) \(\ce{{}_{100}Fm}\) \(\ce{{}_{101}Md}\) \(\ce{{}_{102}No}\) \(\ce{{}_{103}Lr}\)
ラグランジアン \(L\) によって、その時間積分にて極値をとる経路が実際の運動を表す (作用の原理) 物理系の運動を記述する作用関数
\[
S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t)\, \mathrm{d}t
\]
ある温度 \(T\) における放射強度が周波数 \(\nu\) に依存する様子を示す、黒体放射におけるプランクの法則
\[
B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}
\]
量子力学における角運動量の異なる成分間のコミュテータ、角運動量の交換関係
\[
\left[\mathrm{L}_x, \mathrm{L}_y\right] = i\hbar \mathbf{L}_z
\]
物体が放射する総エネルギーは温度の 4 乗に比例するというステファン＝ボルツマンの法則
\[
\varphi = \sigma T^4
\]
重力が時空の曲がり (リッチテンソル) によって表現され、その曲がりが物質 (ストレスエネルギー・テンソル) によって引き起こされる様子を記述するアインシュタインの場の方程式
\[
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
\]
磁束 \(\Phi_B\) の磁場の変化が電磁誘導によって起電力 \(\mathcal{E}\) を生み出すことを示すファラデーの法則
\[
\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}
\]
波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 1 次元の波動方程式
\[
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}
\]
波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 3 次元の波動方程式
\[
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)
\]
物質波の波長 \(\lambda\) が運動量 \(p\) に依存することを示すド・ブロイの波長を表す式
\[
\lambda = \frac{h}p
\]
導電体の電流密度 \(\vec\jmath\) と電場 \(\vec{E}\)、電気抵抗率 \(\rho\) の関係を示すオームの法則のベクトル形式
\[
\vec{E} = \rho\vec\jmath
\]
電場と磁場を統一的に記述するために使われる場のテンソルによる電磁場テンソルの定義
\[
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu
\]
中性子 \(\mathrm{n}\) が陽子 \(\mathrm{p}\)、電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) および反電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) に崩壊する \(\beta^-\) 崩壊
\[
\mathrm{n}^+ \to \mathrm{p} + \beta^- + \bar\nu_e
\]
陽子 \(\mathrm{p}\) が陽電子 (ベータ粒子) \(\beta^+\)、電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) および中性子 \(\mathrm{n}\) に崩壊する \(\beta^+\) 崩壊
\[
\mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \beta^+ + \nu_e
\]
陽子 \(\mathrm{p}\) が軌道上の電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) を捕獲して中性子 \(\mathrm{n}\) に換わり、電子ニュートリノ \(\nu_e\) と特性 X 線になる電子捕獲、\(\beta^+\) 崩壊
\[
\mathrm{p}^{+} + \beta^- \to \mathrm{n} + \nu_e
\]
流体力学の基本方程式であるナビエ–ストークス方程式
\[
\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\left(\cdot\nabla\right)\mathbf{u}\right) = -\nabla\bar{p} + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \frac13\mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{a}
\]
ウラン 235 がトリウム 231 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
原子炉内:
\[
\ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{141}_{56}Ba + {}^{92}_{36}Kr + 3{}^1_0n}
\]
自然界:
\[
\ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}]{}^{231}_{90}Th}
\]
より詳しく:
\[
{\begin{array}{l}
{\ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}] {}^{231}_{90}Th ->[\beta^{-}][25.52\ {\ce{h}}] {}^{231}_{91}Pa ->[\alpha][3.276\times10^4\ {\ce{y}}]}}\\
{\ce{{}^{227}_{89}Ac
}\begin{Bmatrix}
{\ce{ ->[98.62\%\beta^{-}][21.773\ {\ce{y}}] {}^{227}_{90}Th ->[\alpha][18.718\ {\ce{d}}]}}\\
{\ce{ ->[1.38\%\alpha][21.773\ {\ce{y}}] {}^{223}_{87}Fr ->[\beta^{-}][21.8\ {\ce{min}}]}}
\end{Bmatrix}}
{\ce{{}^{223}_{88}Ra ->[\alpha][11.434\ {\ce{d}}]}}\\
{\ce{{}^{219}_{86}Rn ->[\alpha][3.96\ {\ce{s}}] {}^{215}_{84}Po}}
{\begin{Bmatrix}
{\ce{ ->[99.99\%\alpha][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{211}_{82}Pb ->[\beta^{-}][36.1\ {\ce{min}}]}}\\{\ce{ ->[2.3\times10^{-4}\%\beta^{-}][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{215}_{85}At ->[\alpha][0.10\ {\ce{ms}}]}}
\end{Bmatrix}}\\
{\ce{{}^{211}_{83}Bi}}
{\begin{Bmatrix}{\ce{ ->[99.73\%\alpha][2.13\ {\ce{min}}] {}^{207}_{81}Tl ->[\beta^{-}][4.77\ {\ce{min}}]}}\\
{\ce{ ->[0.27\%\beta^{-}][2.13\ {\ce{min}}] {}^{211}_{84}Po ->[\alpha][0.516\ {\ce{s}}]}}
\end{Bmatrix}}
{\ce{{}^{207}_{82}Pb_{(stable)}}}
\end{array}}
\]
ウラン 238 がトリウム 234 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{238}_{92}U ->[{}^4_2\alpha] {}^{234}_{90}Th ->[{}^0_{-1}\beta^-] {}^\mathrm{234m}_{91}Pa}
\]
より詳しく:
\[
\begin{array}{l}
\ce{{}^{238}_{92}U->[{}^4_2\alpha][4.468\times10^9\mathrm{\,y}]}
\ce{{}^{234}_{90}Th->[{}^0_{-1}\beta^-][24.1\mathrm{\,d}]{}^\mathrm{234m}_{91}Pa}
\begin{Bmatrix}
\ce{->[0.16\%][1.17\mathrm{\,min}]}
\ce{{}^{234}_{91}Pa->[{}^0_{-1}\beta^-][6.7\mathrm{\,h}]}\\
\ce{->[99.84\%{}^0_{-1}\beta^-][1.17\mathrm{\,min}]}
\end{Bmatrix}\\
\ce{{}^{234}_{92}U->[{}^4_2\alpha][2.445\times10^5\mathrm{\,y}]}
\ce{{}^{230}_{90}Th->[{}^4_2\alpha][7.5\times10^4\mathrm{\,y}]}
\ce{{}^{226}_{88}Ra->[{}^4_2\alpha][1600\mathrm{\,y}]}
\ce{{}^{222}_{86}Rn->[{}^4_2\alpha][3.8235\mathrm{\,d}]}\\
\ce{{}^{218}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][3.05\mathrm{\,min}]}
\ce{{}^{214}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][26.8\mathrm{\,min}]}
\ce{{}^{214}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][19.9\mathrm{\,min}]}
\ce{{}^{214}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][164.3\mathrm{\,\mu s}]}\\
\ce{{}^{210}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][22.26\mathrm{\,y}]}
\ce{{}^{210}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][5.012\mathrm{\,d}]}
\ce{{}^{210}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][138.38\mathrm{\,d}]}
\ce{{}^{206}_{82}Pb}
\end{array}
\]
ストロンチウム 90 がジルコニウム 90 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{90}_{38}Sr ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 0.5459\,MeV][28.79\,y]}
\ce{{}^{90}_{39}Y ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.280\,MeV][64.053\,h]}
\ce{{}^{90}_{40}Zr}
\]
トリチウム (水素 3) がヘリウム 3 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^3_1H ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 18.6\,keV][12.32\,y]}
\ce{{}^3_2He + \mathit{e}^- + \bar{\nu_\mathit{e}}}
\]
モリブデン 99 が準安定状態のテクネチウム 99m に \(\beta\) 崩壊し、基底状態のテクネチウム 99 へ \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{99}_{42}Mo ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]}
\ce{{}^\mathrm{99m}_{43}Tc ->[\gamma]}
\ce{{}^{99}_{43}Tc}
\]
ヨウ素 131 がキセノン 131 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{131}_{53}I ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 606 keV][8.04\,d]}
\ce{{}^{131}_{54}Xe^* ->[\gamma\ 364 keV] {}^{131}_{54}Xe}
\]
セシウム 134 がバリウム 134 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{134}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.059\,MeV][2.0652\,y]}
\ce{{}^{134}_{56}Ba + \mathit{e}^-}
\]
セシウム 137 がバリウム 137 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{137}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 512.0\,keV][30.07\,y]}
\ce{{}^\mathrm{137m}_{56}Ba ->[\gamma\ 661.7\,keV][2.552\,min]}
\ce{{}^{137}_{56}Ba}
\]
オスミウム 192 準安定状態のイリジウム 192m に \(\beta^-\) 崩壊し、基底状態のイリジウム 192 に \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{192}_{76}Os ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]}
\ce{{}^\mathrm{192m}_77Ir ->[\gamma]}
\ce{{}^{192}_{77}Ir}
\]
ヨウ素 125 が電子捕獲を経て励起状態のテリウム 125 に変換され、励起状態のテリウム 125 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{125}_{53}I + \mathit{e}^- −>}
\ce{{}^{125}_{52}Te^* −>}
\ce{{}^{125}_{52}Te} + \nu_\mathit{e}
\]
コバルト 57 が電子捕獲を経て励起状態の鉄 57 に変換され、励起状態の鉄 57 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[
\ce{{}^{57}_{27}Co + \mathit{e}^- −>}
\ce{{}^{57}_{26}Fe^* −>}
\ce{{}^{57}_{26}Fe} + \nu_\mathit{e}
\]
勾配、発散、回転などの微分演算のためのナブラ演算子
\[
\nabla = {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}}
\]
放射性物質が時間と共に指数関数的に減少する様子を記述する放射性崩壊の法則
\[
N(t) = N_0e^{-\lambda t}
\]
量子力学における運動量演算子
\[
\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla
\]
ハイゼンベルク描像における時間発展を記述した方程式
\[
{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}}
\]
角運動量が保存される場合の物理量の振る舞いを示す、角運動量演算子間の交換関係
\[
\hat{\boldsymbol{L}} \times \hat{\boldsymbol{L}} = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}}
\]
\[
\left[\hat{\boldsymbol{L}}_x, \hat{\boldsymbol{L}_y}\right] = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}}_z
\]
\[
\left[\hat{\boldsymbol{L}}_i, \hat{\boldsymbol{L}_j}\right] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat{\boldsymbol{L}}_k
\]
波動関数 \(\psi\) とエネルギー固有値 \(E\) の関係を示す、シュレディンガー方程式の固有値問題
\[
\widehat{H}\psi = E\psi
\]
ブラックホールの表面積に比例するブラックホールのエントロピーを示す、ベッケンシュタイン・ホーキングの式
\[
S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG}
\]
\[
S_{\text{BH}} = {\frac{kA}{4{\ell_{\mathrm{P}}}^2}}\text{, where }\ell_{\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\implies
\]
\[
S_{\text{BH}} = {\frac{4\pi R^2 k c^3}{4G\hbar}}\implies
S_{\text{BH}} = {\frac{(2\pi R)^2 k c^3}{hG}}\text{, where }A = 4\pi R^2
\]
\[
S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG}\implies
S = \frac{(2\pi R)^2 kc^3}{hG}\text{, where }k = k_B
\]
位置と運動量の測定の精度には限界があることを示す、ハイゼンベルクの不確定性原理
\[
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\]
流体力学のベルヌーイの定理
\[
\frac12\rho v^2 + \rho gz + p = \text{constant}
\]
\[
c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}
\]
量子電磁力学における、電磁気力の強さを表す無次元定数 \(\approx 1/137\) を持つ微細構造定数
\[
\approx \frac1{137}
\]
リッチスカラー \(R\)、メトリック行列の行列式 \(\sqrt{−g}\) に依存する、重力場のダイナミクスを決定する一般相対性理論における重力場の作用
\[
S = \frac1{2\kappa}\int R\sqrt{-g}\mathrm{d}^4\text{ where }\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}
\]
量子力学の基本定数の一つである、通常のプランク定数 \(h\)を \(2\pi\) で割った値で、角運動量やエネルギーの量子化を記述
\[
\hbar := \frac{h}{2\pi}
\]
量子力学の基本方程式である波動関数 \(\lvert\psi(t)\rangle\) の時間変化のハミルトニアン \(\hat{H}\) の時間依存シュレーディンガー方程式
\[
i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle
\]
それぞれの画像にある 22 個の数式について順に解説
直角三角形の斜辺の長さ \(c\), 他の辺の長さ \(a, b\) の関係式
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
円周率 の分数による近似 (Approximating Pi as a Fraction)アルキメデスらによる円周率の近似、内接および外接の正多角形による
\[
\begin{gather*}
\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.1408 < \pi < 3.1429 \\
\frac{355}{113} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.14159292035 < \pi < 3.142857142857 \\
\pi &\approx 3.1415926 < \pi < 3.1415927 %
\end{gather*}
\]
また、\(\pi\) の連分数の漸化式から近似の有理数を求めることができる。一般化された連分数において、
\[
a_0+{\cfrac{b_1}{a_1+{\cfrac{b_2}{a_2+{\cfrac{b_3}{a_3+{_{\ddots}}}}}}}}
\]
\[
\begin{cases}
p_{i+1} &= a_ip_i + b_iq_i\\
q_{i+1} &= p_i
\end{cases}\text{, where }p_0 = 1, q_0 = 0, 1\le i+1 \le n
\]
または、
\[
\begin{cases}
p_i &= a_ip_{i-2} + b_ip_{i-1}\\
q_i &= a_iq_{i-2} + b_iq_{i-1}
\end{cases}\text{, where }p_{-1} = 1, q_{-1} = 0, p_0 = a_0, q_0 = b_0, 1\le i \le n
\]
前者の方が単純で効率がよく優れている。以下にいくつかの連分数の計算例を示す。
\[
\begin{split}
\pi &= 3+{\cfrac{1^2}{6+{\cfrac{3^2}{6+{\cfrac{5^2}{6+{\cfrac{7^2}{6+\cdots}}}}}}}}\\
&\approx \frac{141}{45} = \frac{47}{15} = 3.1\dot3\text{, where }n=3\\
&\approx \frac{1321}{420} = 3.14\dot52380\dot9\text{, where }n=4
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\pi &= {\cfrac{4}{1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+\cdots}}}}}}}}\\
&\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=6\\
&\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=7\\
&\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\cdots\text{, where }n=12
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\cfrac4\pi &= 1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+{\cfrac{4^2}{9+{\cfrac{5^2}{11+{\cfrac{6^2}{\cdots}}}}}}}}}}}}\\
\pi &\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=5\\
\pi &\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=6\\
\pi &\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\dots\text{, where }n=11\\
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\pi &= 3+\textstyle{\cfrac{1}{7+\textstyle{\cfrac{1}{15+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{292+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}\\
&\approx \frac{355}{113} = 3.1415929\cdots\text{, where }n=4\\
&\approx \frac{104348}{33215} = 3.1\dot41592653921421044708715\dot9\text{, where }n=6
\end{split}
\]
パスカルの三角形は二項係数
\[
{n-1\choose k-1} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}
\]
ネイピア数 \(e\)、虚数単位 \(i\)、円周率 \(\pi\)、乗法の単位元 \(1\)、加法の単位元 \(0\) の関係式
\[
\begin{split}
e^{i\pi} &+ 1 = 0\\
e^{i\varphi} &= \cos\varphi + i\sin\varphi\text{, where }\varphi=\pi
\end{split}
\]
\[
\sum_{k=0}^{n-1}e^{i\cdot\frac {2\pi }{n}k} = 0\text{, where }n=2
\]
\(z_1, z_2\in\mathbb{C}\) かつ \(\Re(z_1), \Re(z_2)>0\) におけるベータ関数の定義とガンマ関数との関係式
\[
\begin{split}
\operatorname{B}(z_1,z_2) &=\int_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\mathrm{d}t\\
&= \frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}
\end{split}
\]
ガウス積分は \(\mathbb{R}^2\) 直交座標系の二重積分、及び、極座標系の二重積分の平方根となることで計算可能
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x &= \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\mathrm{d}y} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y} =\\
\sqrt{\iint_{\mathbb{R} ^2}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dx\mathrm{d}y} &= \sqrt{\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta} = \sqrt{2\pi\int_0^{\infty}re^{-r^2}\mathrm{d}r}\text{, where }s = -r^2\\ &= \sqrt{2\pi\int_{-\infty}^0{\tfrac12}e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\pi\int_{-\infty}^0e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\lim_{x\to-\infty}\pi\left(e^0-e^{x}\right)}\\ &= \sqrt{\pi}
\end{split}
\]
\(Z_n, c\in\mathbb{C}\) について以下のような漸化式の \(n\to\infty\) において発散しない \(c\) の集合
\[
z_{n+1} = z_n^2 + c\text{, where }z_0 = 0
\]
\(x, y, z \ge 3\in\mathbb{Z}\) において以下の等式は成立しないという定理
\[
x^n + y^n = z^n
\]
デカルト座標系 (Cartesian coordinate system) \(\mathbb{R}^d\) 上の 2-norm \(d\)-開球体と \(p\)-norm \(d\)-開球体の定義式
\[
\begin{split}
B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt{\sum_{i=1}^d(y_i-x_i)^2} < r\right\}\\
B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt[p]{\sum_{i=1}^d\left\lvert y_i-x_i\right\rvert^p} < r\right\}
\end{split}
\]
質量-バネ-ダンパーモデル (mass-spring-damper model) の運動方程式
\[
\ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = f(t)
\]
外力が \(F = 0\) のとき
\[
\ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = 0\text{, where }F = 0
\]
\[
x(t) = e^{\lambda t}\quad\implies
\]
\[
\lambda^2 e^{\lambda t} + \frac{c}m \lambda e^{\lambda t} + \frac{k}m e^{\lambda t} = 0\quad\implies
\]
\[
\lambda^2 + \frac{c}m \lambda + \frac{k}m = 0\quad\implies
\]
\[
\lambda = – \frac{c}{2m} \pm \frac12 \sqrt{\left(\frac{c}m \right)^2 – \frac{4k}m}
\]
過減衰、臨海減衰、不足減衰の３つの解
\[
x(t) =
\begin{cases}
C_1 e^{-\lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 > \frac{4k}m\\
C_1 e^{-\lambda t} + C_2 t e^{-\lambda t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 = \frac{4k}m \implies c = 2\sqrt{k m}\\
e^{-\frac{c}{2m} t}\left(A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t)\right)\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 < \frac{4k}m\text{, }\lambda = \alpha \pm \beta i
\end{cases}
\]
熱力学温度 \(T\)、圧力 \(p\)、モル気体定数 \(R\) における物質量 \(n\) の体積 \(V\) の理想気体の状態方程式
\[
pV = nRT
\]
パイプやチューブ内の流れのレイノルズ数は、
パイプの水力直径、もしくは、内径 \(D_\mathrm{H}\) (\(\mathrm{m}\))、
体積流量 \(Q\) (\(\mathrm{\,m^3s^{-1}}\))、
パイプの断面積 \(A = \frac{\pi D^2}4\mathrm{\,m^2}\)、
流体の平均速度 \(u\mathrm{\,ms^{-1}}\)、
流体の動粘度 \(\mu\mathrm{\,Pa\cdot s, N\cdot sm^{-2}, kg\cdot m^{-1}s^{-1}}\)、
動粘性係数 \(\mu = \frac\mu{ν} \mathrm{\,m^2s^{-1}}\)、
流体の密度 \(\rho\mathrm{\,kg\cdot m^3}\)、
流体の質量流量 \(W\mathrm{\,kg\cdot s^{-1}}\) のとき、
次のように定義
\[
\mathrm{Re} = {\frac{uD_\mathrm{H}}{\nu}} = {\frac{\rho uD_\mathrm{H}}{\mu}} = {\frac{\rho QD_\mathrm{H}}{\mu A}} = {\frac{WD_\mathrm{H}}{\mu A}}
\]
媒体中の波の伝播速度 \(c\)、媒体に対する受信機の速度 \(v_{\mathrm{r}}\)、媒体に対する音源の速度 \(v_{\mathrm{s}}\) において、観測される周波数 \(f\) と放射周波数 \(f_0\) のドップラー効果
\[
\begin{split}
f &= \left(1+{\frac{\Delta v}{c}}\right)f_0\text{ where }\Delta v = -(v_{\mathrm{r}}-v_{\mathrm{s}})\\
&= \left({\frac{c\pm v_{\mathrm{r}}}{c\mp v_{\mathrm{s}}}}\right)f_0
\end{split}
\]
万有引力定数 \(G\)、物体の質量 \(m_1\), \(m_2\)、物体間の距離 \(r\) のときの万有引力 \(F\)
\[
F = G\frac{m_1m_2}{r^2}
\]
質点の加速度 \(\boldsymbol{a}\) は、その質点に作用する力 \(\boldsymbol{F}\) に比例し、その質点の質量 \(m\) に反比例するというデカルト座標系上の運動方程式、ニュートン力学の第二法則
\[
\begin{split}
\boldsymbol{F} &= \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\text{, where }\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}\\
\boldsymbol{F} &= m{\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}} = m{\frac{\mathrm{d}^{2}{\boldsymbol{r}}}{\mathrm{d}t^{2}}} = m\boldsymbol{a}
\end{split}
\]
一般化座標系上の運動エネルギー \(T\) とポテンシャル \(V\) の差であるラグランジアン \(\mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t) = T - V\) に関する運動方程式
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}\right) = 0
\]
より正確には:
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}(q(t),\dot{q}(t),t)-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}(q(t),\dot{q}(t),t)\right) = 0
\]
イジング模型のハミルトニアン (Hamiltonian of Ising model)交換相互作用定数 \(J\)、外部磁場 \(h\)、格子点 \(i\) 上のスピン \(\sigma_i\) (\(\pm1\)) におけるイジング模型のハミルトニアン
\[
H(\sigma) = -\sum_{\langle i j\rangle}J_{ij}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_j h_j\sigma_j
\]
時刻 \(t\), 位置ベクトル \(\mathbf{r}\), 電場の強度 \(\mathbf{E}\), 電束密度 \(\mathbf{D}\), 磁束密度 \(\mathbf{B}\), 磁場の強度 \(\mathbf{H}\), 真空の誘電率 \(\varepsilon_0\), 真空の透磁率 \(\mu_0\), 電荷密度 \(\rho\), 電流密度 \(\mathbf{J}\) からなる連立偏微分方程式による古典電磁気学の基礎方程式
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{D} &= {\rho} \iff \nabla\cdot\mathbf{E} = {\frac{\rho}{\varepsilon_0}} &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\
\nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\
\nabla\times\mathbf{E} &= -{\frac{\partial\mathbf{B} }{\partial t}} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\
\nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} + {\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} \iff \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} +\varepsilon_0{\frac{\partial\mathbf{E} }{\partial t}}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law}
\end{aligned}
\end{cases}
\]
及び、その積分形式
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
\oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= {\frac1{\varepsilon_0}}\iiint_{\Omega}\rho\,\mathrm{d} V &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\
\oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\
\oint_{\partial\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= -{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\
\oint_{\partial\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= \mu_0\left(\iint_{\Sigma}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} + \varepsilon_0{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law}
\end{aligned}
\end{cases}
\]
但し、真空中につき、分極 \(\mathbf{P}\)、磁化 \(\boldsymbol{M}\) は \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{M} = 0\) なので、
\[
\boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P},\quad\boldsymbol{H} = \frac1{\mu_0}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}
\]
\[
\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E},\quad\mathbf{H} = {\frac1{\mu_0}}\mathbf{B}
\]
\(c\) を光速度として静止座標系における質量 \(m\) とエネルギー \(E\) の関係式
\[
E = mc^2
\]
4 次元時空における 2 点間の無限小距離 \(\mathrm{d}s\)、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)、時空の各座標軸に沿った無限小変位 \(\mathrm{d}x^\mu\), \(\mathrm{d}x^\nu\) において、以下が成り立つ。
\[
\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu
\]
量子力学における量子の状態ベクトル \(\lvert\psi(t)\rangle\) に関する基礎方程式
\[
i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle
\]
「H」と「S」は順にハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像の観測量、観測量 \(A\)、ハミルトニアン \(H\)、\(H\) と \(A\) の交換演算子 \([\cdot,\cdot]\) におけるハイゼンベルクの運動方程式
\[
{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}}
\]
フェルミ粒子のためのディラック場 \(\psi(x)\) における基礎方程式
\[
i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x)-m\psi(x) = 0
\]
ニュートリノを表すスピノル \(\nu\)、ニュートリノのチャージ共役 \(\nu^C\)、ニュートリノとそのチャージ共役のディラック共役 \(\bar\nu\), \(\bar\nu^C\)、ニュートリノの質量項 \(m\) におけるマヨラナ質量項
\[
-\frac{m}2\left(\bar\nu^C\nu + \bar\nu\nu^C\right)
\]
2024 年現在、これは未だ解決していない。
ウラン 235 と中性子の核分裂反応 (Fission reaction of U235 with neutrons)U235 の核分裂反応において、Ba139 と Kr95 が生成される化学式
\[
\ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n}
\]
原子炉内での制御された核分裂反応や核分裂兵器 (原子爆弾)、核燃料の再処理でみられる。
\[
\ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{236}_{92}U^* -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n}
\]
素粒子物理学における、一般相対性理論 (時空と重力)、ゲージ理論 (電磁力、弱い相互作用、強い相互作用)、ヒッグス機構、フェルミオン (物質粒子) などの相互作用を包括的に含む標準模型 (Standard Model) のラグランジアンを統合した式
\[
W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left[ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{ i \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{m_p^2}{2} R - \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu}
+ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i + \left( \bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c. \right)
- |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \right] \right\}
\]
量子力学と経路積分 — 以下の項は、量子力学的な経路積分 (ファインマン積分) により重力場 \(g\)、ゲージ場 \(A\)、フェルミオン場 \(\psi\)、ヒッグス場 \(\Phi\) の理論を記述している。
\[
W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left\{ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{i\cdots\right\}
\]
重力、ゲージ場 — 以下の項は、一般相対性理論の重力場のラグランジアン \(\frac{m_p^2}{2} R\) とゲージ場 (電磁場や強い相互作用、弱い相互作用) を記述している。
\[
\int d^4x \sqrt{-g},
\]
\[
\frac{m_p^2}{2} R,
\]
\[
- \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu}
\]
フェルミオン場 — 以下の項は、電子、クォークなどの物質粒子であるフェルミオンとそれに伴うディラック方程式を記述しており、ディラック行列 \(\gamma^\mu\)、共変微分 \(D_\mu\) を表す。
\[
i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i
\]
フェルミオンとヒッグス場の相互作用 — 以下の項は、ヒッグス場 \(\Phi\) と左巻きと右巻きのフェルミオンの相互作用を表し、ヒッグス機構により、フェルミオンが質量を得るための重要な要素。
\[
\bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c.
\]
ヒッグス場 — 以下の項は、ヒッグス場の運動項とポテンシャル項 \(- V(\Phi)\) が含まれ、ヒッグス場の自発的対称性の破れにより、ゲージボソンとフェルミオンが質量を獲得する。
\[
- |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi)
\]
\[
\begin{gather*}
\maltese\\
\maltese\\
\maltese\\
%\maltese\\
%\maltese\\
%\maltese\\
\maltese
\end{gather*}
\]
\[y = x\]
\[y = x^2\]
\[y = x^3\]
\[y = \sin x\]
\[y = \cos x\]
\[y = \tan x\]
\[y = \cot x\]
\[y = \frac1x\]
\[y = -\frac1x\]
\[y = \lvert x\rvert\]
\[y = -\lvert x\rvert\]
\[y = -x\]
\[y = \log_ax\]
\[y = a^x\]
\[x^2 + y^2 = a^2\]
重要な数学定数の T シャツ群
それぞれの画像にある 3 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な数学定数を示す。但し、整数 \(\mathbb{Z}\), 有理数 \(\mathbb{Q}\), 代数的数 \(\mathbb{A} := \overline{\mathbb{Q}}\), 超越数 \(\mathbb{T} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{A}\), 無理数 \(\mathbb{I} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{Q}\), 実数 \(\mathbb{R}\), 複素数 \(\mathbb{C}\), 四元数 \(\mathbb{H}\) とする。
乗法単位元 (Multiplicative identity) \(\mathbb{Z}\owns\) \(1\) where \(1 = -e^{i\pi}\)
加法単位元 (Additive identity) \(\mathbb{Z}\owns\) \(0\) where \(0 = e^{i\pi} + 1\)
虚数単位 (The imaginary unit) \(\mathbb{I}\owns\) \(i\) where \(i = e^{i\frac\pi2} := \sqrt{-1}\)
四元数の第二虚数単位 (Second imaginary unit of the quaternion) \(\mathbb{A}\owns\) \(j\)
四元数の第三虚数単位 (The third imaginary unit of the quaternion) \(\mathbb{A}\owns\) \(k\)
黄金比 (The golden ratio) \(\mathbb{A}\owns\) \(\phi \approx 1.61803\) where \(n = 1,\ \phi = \frac{1+{\sqrt{5}}}{2} = \frac{n+{\sqrt{n^{2}+4}}}{2}\)
白銀比 (The silver ratio) \(\mathbb{A}\owns\) \(\tau \approx 2.41421\) where \(n = 2,\ \tau = 1+\sqrt{2} = \frac{n+{\sqrt{n^{2}+4}}}{2}\)
青銅比 (The bronze ratio) \(\mathbb{A}\owns\) \(\rho \approx 3.30277\) where \(n = 3,\ \rho = \frac{1+\sqrt{2}}2 = \frac{n+{\sqrt{n^{2}+4}}}{2}\)
プラスチック比 (The Plastic ratio) \(\mathbb{A}\owns\) \(\rho \approx 1.32471\) where \(\rho = \sqrt[3]{w_1} + \sqrt[3]{w_2},\ w_{1,2} = \frac{\left(1 \pm \frac13\sqrt\frac{23}3\right)}2\)
\(1\) の立方根 (Cube root of \(1\)) \(\mathbb{I}\owns\) \(\omega \approx 1, -0.5 \pm 0.86602i\) where \(\omega = \sqrt[3]1 = \sqrt[3]1 = e^{\frac{2n\pi i}3} = \cos(\frac{2n\pi}3) + \sin(\frac{2n\pi}3)i = 1, \frac{-1 \pm {\sqrt{3}}i}2\)
\(2\) の平方根 (Pythagoras' constant) \(\mathbb{A}\owns\) \(\sqrt{2} \approx \pm1.41421\) where \(\sqrt2 = e^{n\pi i} = \sqrt2\left\{\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)\right\} = \pm\sqrt2\)
\(2\) の立方根 (Cube root of \(2\)) \(\mathbb{A}\owns\) \(\sqrt[3]{2} \approx 1.25992, -0.62996 \pm 1.09112i\) where \(\sqrt[3]2 = e^{\frac{2n\pi i}3} = \sqrt[3]2\left\{\cos(\frac{2n\pi}3) + i\sin(\frac{2n\pi}3)\right\} = \sqrt[3]2, \sqrt[3]2\frac{-1 \pm \sqrt3i}2\)
円周率 (Archimedes' constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\pi \approx 3.14159\)
ネイピア数 (Euler's number) \(\mathbb{T}\owns\) \(e \approx 2.71828\)
\(1\) の余弦 (Cosine of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\cos 1 \approx 0.54030\)
\(1\) の正弦 (Sine of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\sin 1 \approx 0.84147\)
\(1\) の正接 (Tangent of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\tan 1 \approx 1.55740\)
\(1\) の双曲線余弦 (Hyperbolic cosine of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\cosh 1 \approx 1.54308\)
\(1\) の双曲線正弦 (Hyperbolic sine of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\sinh 1 \approx 1.17520\)
\(1\) の双曲線正接 (Hyperbolic tangent of \(1\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\tanh 1 \approx 0.76159\)
\(2\) の自然対数 (The natural logarithm of \(2\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\ln 2 \approx 0.69314\)
\(10\) の自然対数 (The natural logarithm of \(10\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\ln 10 \approx 2.30258\)
\(i\) の \(i\) 乗 (\(i\) to the \(i\)th power) \(\mathbb{T}\owns\) \(i^i \approx 0.20787\) where \(i^i = \left(e^{i\frac\pi2}\right)^i = e^{-\left(\frac\pi2 + 2n\pi\right)} = \frac1{\sqrt{e^\pi}}\)
\(e\) の \(i\) 乗 (\(e\) to the \(i\)th power) \(\mathbb{T}\owns\) \(e^i \approx 0.54030 + 0.84147i\) where \(e^i = \cos1 + i\sin1\)
\(i\) の平方根 (Square root of \(i\)) \(\mathbb{I}\owns\) \(\sqrt{i} \approx \pm0.70710 \pm0.70710i\) where \(\sqrt{i} \;(= \sqrt[4]{-1}) = \sqrt{1\cdot e^{i\frac\pi2}} = e^{i\left(\frac\pi4 + n\pi\right)} = \cos\left(\frac\pi4 + n\pi\right) + i\sin\left(\frac\pi4 + n\pi\right) = \pm\frac{\sqrt2}2 \pm \frac{\sqrt2}2i\)
\(i\) の立方根 (Cube root of \(i\)) \(\mathbb{I}\owns\) \(\sqrt[3]{i} \approx \pm0.86602 + 0.5i \text{, } \sqrt[3]{i} = -i\) where \(\sqrt[3]{i} \;(= \sqrt[6]{-1}) = \sqrt[3]{1\cdot e^{i\frac\pi2}} = e^{i\left(\frac\pi6 + \frac{2n\pi}3\right)} = \cos\left(\frac\pi6 + \frac{2n\pi}3\right) + i\sin\left(\frac\pi6 + \frac{2n\pi}3\right) = \pm\frac{\sqrt3}2 + \frac12i\text{, }0 - i\)
\(\pi\) の平方根 (Square root of \(\pi\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\sqrt\pi \approx \pm1.77245\) where \(\sqrt\pi = \sqrt\pi e^{n\pi i} = \sqrt\pi\left(\cos n\pi + i\sin n\pi\right) = \pm\sqrt\pi\), \(\sqrt\pi = \Gamma\left(\frac12\right)\)
\(\pi\) の立方根 (Cube root of \(\pi\)) \(\mathbb{T}\owns\) \(\sqrt[3]\pi \approx -0.73230 \pm 1.2684i\text{, }1.46459\) where \(\sqrt[3]\pi = \sqrt[3]\pi e^{\frac{(2 + 2n)\pi}3i} = \sqrt[3]\pi\left(\cos\frac{(2 + 2n)\pi}3 + i\sin\frac{(2 + 2n)\pi}3\right) = \sqrt[3]\pi(-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}2i)\text{, }\sqrt[3]\pi\)
無限の冪乗の収束の上限値 (Upper bound on the convergence of infinite powers) \(\mathbb{R}\owns\) \(e^{e^{-1}} \approx 1.44466\) where \(a = e^{e^{-1}}\) for \(e = a^{a^{a^⋰}}\)
無限の冪乗の収束の下限値 (Lower bound on the convergence of infinite powers) \(\mathbb{R}\owns\) \(e^{-e} \approx 0.06598\) where \(a = e^{-e}\) for \(e^{-1} = a^{a^{a^⋰}}\)
無限の階乗 (Infinite factorial) \(\mathbb{T}\owns\) \(\infty! \approx 2.50662\) where \(\infty! = \prod_{n=1}^\infty n = \sqrt{2\pi}\)
素数の総積 (Infinite product of prime numbers) \(\mathbb{T}\owns\) \(\prod_p p \approx 39.47841\) where \(\prod_p p = (2\pi)^2\)
自然数の-2乗の総和 (Sum of natural numbers to the power of -2) \(\mathbb{T}\owns\) \(\frac{\pi^2}6 \approx 1.64493\) where \(\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6\)
自然数の-1乗の交代総和 (Alternating sum of natural numbers to the power of -1) \(\mathbb{T}\owns\) \(\ln2 \approx 0.69314\) where \(\eta(1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n = \ln2\)
ゲルフォン・シュナイダー定数 (Gelfond–Schneider constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(2^{\sqrt{2}} \approx 2.66514\)
ゲルフォン・シュナイダー定数の平方根 (Square root of Gelfond-Schneider constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\sqrt{2^{\sqrt{2}}} \approx \pm1.63252\) where \(\sqrt{2^{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \;(= {2^\frac12}^{2^\frac12})\)
ゲルフォントの定数 (Gelfond's constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(e^\pi \approx 23.14069\) where \(e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (\cos\pi + i\sin\pi)^{-i} = (-1)^{-i}\)
レムニスケート (連珠形) 周率 (lemniscate constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\varpi \approx 2.62205\) where \(\varpi = 2\int_0^1\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-r^4}} = {\sqrt{2}}K\left({\frac1{\sqrt{2}}}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac14\right)^2}{2^{\frac32}\pi^{\frac12}}\)
オイラー定数 (The Euler–Mascheroni constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\gamma \approx 0.57721\) where \(\gamma := \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}} - \ln(n)\right) = \int_1^{\infty}\left({1\over\lfloor x\rfloor} - {1\over x}\right)\,\mathrm{d}x\)
シェルピンスキーの定数 (Sierpinski’s Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(K \approx 2.58498\) where \(K = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^nr_2(k)\over k - \pi\ln n\right) = \pi\left(2\ln 2 + 3\ln\pi + 2\gamma -4\ln\Gamma\left({\frac14}\right)\right) = \pi\ln\left({\frac{4\pi^3e^{2\gamma}}{\Gamma\left({\frac14}\right)^4}}\right) = \pi\ln\left({\frac{\pi^2e^{2\gamma}}{2\varpi^2}}\right)\)
双子素数の定数 (Hardy–Littlewood Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(C \approx 0.66016\) where \(C = \prod_{p>2}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)\) for \(2C\frac{x}{(\log x)^2}\text{ (}2C\int_2^x\frac{dx}{(\log x)^2}\)
ブルン定数 — 双子素数の逆数の総和 (Brun’s Constant)) \(\mathbb{R}\owns\) \(B_2 \approx 1.90216\) where \(B_2 = \left(\frac13+\frac15\right)+\left(\frac15+\frac17\right)+\left(\frac1{11}+\frac1{13}\right)+\left(\frac1{17}+\frac1{19}\right)+\left(\frac1{29}+\frac1{31}\right)+\cdots\)
ブルン定数、四つ子素数の逆数の総和 \(\mathbb{R}\owns\) \(B_2 \approx 0.87058\) where \(B_4 = \left(\frac15+\frac17+\frac1{11}+\frac1{13}\right)+\left(\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{17}+\frac1{19}\right)+\left(\frac1{101}+\frac1{103}+\frac1{107}+\frac1{109}\right)+\cdots\)
ドッティ数 (Dottie number) \(\mathbb{T}\owns\) \(D \approx 0.73908\) where \(\cos D = D\)
二次元球最密充填密度定数 (2-dimensional sphere close-packing density constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\frac\pi{\sqrt{12}} \approx 0.90689\)
三次元球最密充填密度定数 (3-dimensional sphere close-packing density constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\frac\pi{\sqrt{18}} \approx 0.74048\)
リウヴィル数 (Liouville–Roth Constants) \(\mathbb{T}\owns\) \(l \approx 0.11000\) where \(l = \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}\)
普遍放物線定数 (Universal parabolic constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(P_2 \approx 2.29558\) where \(P_2 = \ln(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} = \sinh^{-1}1 + \sqrt{2} = \int_{-1}^1\sqrt{1 + t^2}\mathrm{d}t\)
プルーエ-トゥエ-モース定数 (Prouhet–Thue–Morse Constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\tau \approx 0.41245\) where \(\tau = \frac14\left[2-\prod_{n=0}^\infty\left(1-\frac1{2^{2^{n}}}\right)\right]\)
十進チャンパーノウン定数 (decimal Champernowne constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(C_{10} \approx 0.12345\) where \(m = 10,\ C_m = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{m^{n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left\lfloor\log_m(k+1)\right\rfloor}}\)
二進チャンパーノウン定数 (binary Champernowne constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(C_2 \approx 0.11011_{(2)}\) where \(m = 2,\ C_m = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{m^{n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left\lfloor\log_m(k+1)\right\rfloor}}\)
カタラン定数 (Catalan’s Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(G \approx 0.91596\) where \(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\)
ヒンチン‐レヴィ定数 (Khintchine-Lévy Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(K_0 \approx 2.68545\) where \(K_0 = \prod_{r=1}^\infty{\left(1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2r}\)
ミルズの定数 (Mills’ Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(A \approx 1.30637\) ここで、任意の \(n\) について \(\left\lfloor A^{3^n}\right\rfloor\) がすべて素数となる最小の正実数 \(A\)
ブロッホ定数 (Bloch's constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(0.4332 \approx \frac{\sqrt{3}}4 + 2\times 10^{-14} \leq B \leq 0.47186 \approx \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}2}\cdot\frac{\Gamma(\frac13)\Gamma(\frac{11}{12})}{\Gamma(\frac14)}\)
ランダウ定数 (Landau's constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(0.5 < L \leq 0.54325 \approx \frac{\Gamma(\frac13)\Gamma(\frac56)}{\Gamma(\frac16)}\)
第一ファイゲンバウム定数 (Feigenbaum–Coullet–Tresser Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(\delta \approx 4.66920\) where \(\delta_2 = \lim_{i\rightarrow\infty}\frac{\mu_i-\mu_{i-1}}{\mu_{i+1}-\mu_i}\)
第二ファイゲンバウム定数 (Feigenbaum–Coullet–Tresser Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(\alpha \approx 2.50290\) where \(\alpha_2 = \lim_{i\rightarrow\infty}\frac{d_i}{d_{i+1}}\)
マイセル・メルテンス定数 (Meissel–Mertens Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(M \approx 0.26149\) where \(M = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{p\leq n}\frac1p - \ln(\ln n)\right) = \gamma + \sum_p\left\{\ln\left(1 - \frac1p\right)+\frac1p\right\}\)
グレイシャー・キンケリンの定数 (Glaisher–Kinkelin Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(A \approx 1.28242\) where \(A = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{K(n+1)}{n^{\frac{n^{2}}2+\frac{n}2+\frac1{12}}e^{-\frac{n^2}4}}\) where \(K(n) = \prod_{k=1}^{n-1}k^k\)
ランダウ・ラマヌジャンの定数 (Landau–Ramanujan Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(K \approx 0.76422\) where \(K = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{N(x)}{x/\sqrt{\ln(x)}}\)
バーンスタイン定数 (Bernstein's constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\beta \approx 0.28016\) where \(\beta = \lim_{n\to\infty}2nE_{2n}(f)\)
ハフナー・サルナク・マッカーリー定数 (Hafner–Sarnak–McCurley Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\sigma \approx 0.35323\) where \(\sigma = \lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^\infty\left[1-\left\{1-\prod_{j=1}^n(1-p_k^{-j})\right\}^2\right]\)
バックハウス定数 (Backhouse's constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\approx 1.45607\) where \(P(x) = 1+\sum_{k=1}^\infty p_kx^k, Q(x) = \frac1{P(x)} = \sum_{k=0}^\infty q_kx^k, \lim_{k\to\infty}\left\lvert\frac{q_{k+1}}{q_k}\right\rvert\)
ニーヴンの定数 (Niven’s Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\approx 1.70521\) where \(\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum _{j=1}^nH(j) = 1 + \sum_{k=2}^\infty\left(1-\frac1{\zeta(k)}\right)\)
リープの二乗氷定数 (Lieb's square ice constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\approx 1.53960\) where \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{f(n)} = \left(\frac43\right)^\frac32 = \frac{8{\sqrt{3}}}9\)
ラマヌジャン・ゾルトナー定数 (Ramanujan–Soldner constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\mu \approx 1.45136\) where \(\operatorname{li}(\mu) = \int_0^\mu\frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}\)
ゴロム・ディックマン定数 (Golomb–Dickman Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\lambda \approx 0.62432\) where \(\lambda = \int_0^1e^{\mathrm{Li}(t)}\mathrm{d}t = \int_0^\infty e^{-t - E_1(t)}\mathrm{d}t\)
フランセン・ロビンソン定数 (Fransén–Robinson Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(F \approx 2.80777\) where \(F = \int_0^\infty\frac1{\Gamma (x)}\mathrm{d}x\)
アルティン定数 (Artin’s Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(C_\mathrm{Artin} \approx 0.37395\) where \(C_\mathrm{Artin} = \prod_{p\;\mathrm{prime}}\left(1-\frac1{p(p-1)}\right)\)
オイラー・トーシェント定数 (Euler Totient Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(C \approx 0.81781\) where \(\frac{x}{\log x}e^{\big(C + o(1)\big)(\log\log\log x)^2}\)
アラディ・グリンステッド定数 (Alladi–Grinstead Constant) \(\mathbb{R}\owns\) \(\lim_{n\to\infty}\alpha(n) = e^{c-1} \approx 0.80939\) where \(\alpha(n) = {\frac {\ln m(n)}{\ln n}}\)
スティルチェス定数 (Stieltjes Constants) \(\mathbb{R}\owns\) \(\gamma_1 \approx −0.07281\) where \(\gamma_n = \lim_{m\rightarrow\infty}\left(\left(\sum _{k=1}^m\frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)\)
ピゾ・ヴィジャヤラガヴァン・サラム定数 (Pisot–Vijayaraghavan–Salem Constants) \(\mathbb{A}\owns\) \(x \approx 1.32471\) where \(x^3 - x - 1 = 0\)
ルジャンドル定数 (Legendre's constant) \(\mathbb{Z}\owns\) \(B \approx 1.08366\) where \(B = \lim_{n\to\infty}\left(\ln(n)-{n\over\pi(n)}\right)\)
オメガ定数 (Omega constant) \(\mathbb{I}\owns\) \(\Omega \approx 0.56714\) where \(\Omega\times e^\Omega = 1\text{, }\Omega = W(1)\)
アペリーの定数 (Apéry’s Constant) \(\mathbb{I}\owns\) \(\zeta(3) \approx 1.20205\) where \(n = 3,\ \zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\)
エルデシュ・ボルヴァイン定数 (Erdős–Borwein constant) \(\mathbb{I}\owns\) \(E_\mathrm{B} \approx 1.60669\) where \(E_\mathrm{B} = \sum _{n=1}^\infty\frac1{2^n-1}\)
フィボナッチ数列の逆数和 (Reciprocal sum of Fibonacci sequence) \(\mathbb{I}\owns\) \(\psi \approx 3.35988\) where \(\psi = \sum_{k=1}^\infty\frac1{F_k} = \frac11+\frac11+\frac12+\frac13+\frac15+\frac18+\frac1{13}+\frac1{21}+\cdots\)
チャイティン定数 (Chaitin’s Constant) \(\mathbb{T}\owns\) \(\Omega_F := \sum_{p\in P_F}2^{-|p|}\) where 計算可能関数 \(F(p, x)\), その定義域 \(P_F\) に依存
グーゴル (Googol) \(\mathbb{Z}\owns\) \(\mathrm{googol} = 10^{100}\)
グーゴルプレックス (Googolplex) \(\mathbb{Z}\owns\) \(\mathrm{googolplex} = 10^{\mathrm{googol}} = 10^{10^{100}}\)
グーゴルプレックスプレックス (Googolplexplex) \(\mathbb{Z}\owns\) \(\mathrm{googolplexplex} = 10^{\mathrm{googolplex}} = 10^{10^{10^{100}}}\)
グラハム数 (Graham's Number) \(\mathbb{Z}\owns\) \({G = G^{64}(4) = \underbrace{G(G(\cdots G}_{64}(4)\cdots)}\) where \(G(n) = 3\uparrow^{n}3 = 3\mathbin{\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n\text{ arrows}}}3\)
重要な物理定数の T シャツ群
それぞれの画像にある 4 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な物理定数を示す。
真空中の光速度 (speed of light in vacuum) \(c = 299792458 \mathrm{\,m\cdot s^{-1}}\) where \(c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\)
真空の透磁率 (permeability in vacuum) \(\mu_0 = 0.99999999987(16) \mathrm{\,N\cdot A^{-2}}\) where \(\mu_0 = {\tfrac{4\pi\alpha\hbar}{e^2c}}\)
真空の誘電率 (permittivity of vacuum) \(\varepsilon = 8.8541878188(14)\times 10^{−12} \mathrm{\,F\cdot m^{−1}}\) where \(\varepsilon_0 = {\tfrac1{\mu_0c^2}}\)
プランク定数 (Planck constant) \(h = 6.62607015\times 10^{−34} \mathrm{\,J\cdot Hz^{−1}}\)
ディラック定数 (Dirac's constant) \(\hbar = 1.054571817\times 10^{−34} \mathrm{\,J\cdot s}\) where \(\hbar = \tfrac{h}{2\pi}\)
微細構造定数 (Fine-structure constant) \(\alpha = 7.2973525643(11)\times 10^{-3}, \alpha^{-1} = 137.035999177(21)\) where \(\alpha = {\tfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}}\)
電気素量 (elementary charge) \(e = 1.602176634\times 10^{−19} \mathrm{\,C}\)
ジョセフソン定数 (Josephson constant) \(K_\mathrm{J} = \frac{2e}h = 483597.8484\ldots \times 10^9 \mathrm{\,Hz\cdot V^{−1}}\)
フォン・クリッツィング定数 (von Klitzing constant) \(R_\mathrm{K} = \frac{h}{e^2} = 25812.80745\ldots \mathrm{\,\Ohm}\)
ボルツマン定数 (Boltzmann constant) \(k = 1.380649\times 10^{−23} \mathrm{\,J\cdot K^{-1}}\)
アボガドロ定数 (Avogadro constant) \(N_\mathrm{A} = 6.02214076\times 10^{23} \mathrm{\,mol^{−1}}\)
ファラデー定数 (Faraday constant) \(F = N_\mathrm{A}e = 96485.33212331 \mathrm{\,C\cdot mol^{−1}}\)
モルプランク定数 (molar Planck constant) \(N_\mathrm{A}h = 3.9903127128934\times 10^{−10} \mathrm{\,J\cdot s\cdot mol^{−1}}\)
モル気体定数 (molar gas constant) \(R = N_\mathrm{A}k = 8.31446261815324\mathrm{\,J\cdot K^{−1}\cdot mol^{−1}}\)
シュテファン=ボルツマン定数 (Stefan–Boltzmann constant) \(\sigma = {\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}} = 5.670374419\ldots\times10^{-8}{\mathrm{\,W}}{\mathrm{\,m}}^{-2}{\mathrm{\,K}}^{-4}\)
以下、HP 35S 関数電卓に搭載の物理定数をそのまま示す。
真空中の光速 (Speed of light in vacuum) \(\mathrm{c} \approx 299792458 \mathrm{\,m s^{-1}}\)
標準重力加速度 (Standard acceleration of gravity) \(\mathrm{g} \approx 9.80665 \mathrm{\,m s^{-2}}\)
万有引力定数 (Newtonian constant of gravitation) \(\mathrm{G} \approx 6.673×10^{-11} \mathrm{\,m^{3} kg ^{-1} s^{-2}}\)
理想気体のモル体積 (Molar volume of ideal gas) \(\mathrm{V_m} \approx 0.022413996 \mathrm{\,m^{3} mol^{-1}}\)
アボガドロ定数 (Avogadro constant) \(\mathrm{N_A} \approx 6.02214199×10^{23} \mathrm{\,mol^{-1}}\)
リュードベリ定数 (Rydberg constant) \(\mathrm{R∞} \approx 10973731.5685 \mathrm{\,m^{-1}}\)
電気素量 (Elementary charge) \(\mathrm{eV} \approx 1.602176462×10^{-19} \mathrm{\,C}\)
電子素量 (Electron mass) \(\mathrm{m_e} \approx 9.10938188×10^{-31} \mathrm{\,kg}\)
陽子の質量 (Proton mass) \(\mathrm{m_P} \approx 1.67262158×10^{-27} \mathrm{\,kg}\)
中性子の質量 (Neutron mass) \(\mathrm{m_n} \approx 1.67492716×10^{-27} \mathrm{\,kg}\)
ミュー粒子の質量 (Muon mass) \(\mathrm{m_μ} \approx 1.88353109×10^{-28} \mathrm{\,kg}\)
ボルツマン定数 (Boltzmann constant) \(\mathrm{k} \approx 1.3806503×10^{-23} \mathrm{\,J K^{-1}}\)
プランク定数 (Planck constant) \(\mathrm{ℎ} \approx 6.62606876×10^{-34} \mathrm{\,J s}\)
ディラック定数 (Planck constant over 2π) \(\mathrm{ℏ} \approx 1.054571596×10^{-34} \mathrm{\,J s}\)
磁束量子 (Magnetic flux quantum) \(\mathrm{φ_o} \approx 2.067833636×10^{-14} \mathrm{\,Wb}\)
ボーア半径 (Bohr radius) \(\mathrm{a_o} \approx 5.291772083×10^{-11} \mathrm{\,m}\)
真空の誘電率 (Electric constant) \(\mathrm{ε_o} \approx 8.854187817×10^{-12} \mathrm{\,F m^{-1}}\)
モル気体定数 (Molar gas constant) \(\mathrm{ℝ} \approx 8.314472 \mathrm{\,J mol^{-1}k^{-1}}\)
ファラデー定数 (Faraday constant) \(\mathrm{𝔽} \approx 96485.3415 \mathrm{\,C mol^{-1}}\)
原子質量定数 (Atomic mass constant) \(\mathrm{u} \approx 1.66053873×10^{-27} \mathrm{\,kg}\)
磁気定数 (Magnetic constant) \(\mathrm{μ_o} \approx 1.2566370614×10^{-6} \mathrm{\,NA^{-2}}\)
ボーア磁子 (Bohr magneton) \(\mathrm{μ_B} \approx 9.27400899×10^{-24} \mathrm{\,J T^{-1}}\)
核磁子 (Nuclear magneton) \(\mathrm{μ_N} \approx 5.05078317×10^{-27} \mathrm{\,J T^{-1}}\)
陽子の磁気モーメント (Proton magnetic moment) \(\mathrm{μ_P} \approx 1.410606633×10^{-26} \mathrm{\,J T^{-1}}\)
電子の磁気モーメント (Electron magnetic moment) \(\mathrm{μ_e} \approx -9.28476362×10^{-24} \mathrm{\,J T^{-1}}\)
中性子の磁気モーメント (Neutron magnetic moment) \(\mathrm{u_n} \approx -9.662364×10^{-27}\mathrm{\,J T^{-1}}\)
ミュー粒子の磁気モーメント (Muon magnetic moment) \(\mathrm{μ_μ} \approx -4.49044813×10^{-26} \mathrm{\,\approx J T^{-1}}\)
古典電子半径 (Classical electron radius) \(\mathrm{r_e} \approx 2.817940285×10^{-15} \mathrm{\,m}\)
真空の特性インピーダンス (Characteristic impendence of vacuum) \(\mathrm{Z_o} \approx 376.730313461 \mathrm{\,\Ohm}\)
コンプトン波長 (Compton wavelength) \(\mathrm{λ_C} \approx 2.426310215×10^{-12} \mathrm{\,m}\)
中性子のコンプトン波長 (Neutron Compton wavelength) \(\mathrm{λ_{Cn}} \approx 1.319590898×10^{-15} \mathrm{\,m}\)
陽子のコンプトン波長 (Proton Compton wavelength) \(\mathrm{λ_{CP}} \approx 1.321409847×10^{-15} \mathrm{\,m}\)
微細構造定数 (Fine structure constant) \(\mathrm{\alpha} \approx 7.297352533×10^{-3}\)
ステファン・ボルツマン定数 (Stefan–Boltzmann constant) \(\mathrm{\sigma} \approx 5.6704×10^{-8} \mathrm{\,W m^{-2}K^{-4}}\)
セルシウス温度（摂氏） (Celsius temperature) \(\mathrm{t} \approx 273.15\)
標準気圧 (Standard atmosphere) \(\mathrm{a^{tm}} \approx 101325 \mathrm{\,Pa}\)
陽子の磁気回転比 (Proton gyromagnetic ratio) \(\mathrm{γ_P} \approx 267522212 \mathrm{\,s^{-1}T^{-1}}\)
第一放射定数 (First radiation constant) \(\mathrm{C_1} \approx 374177107×10^{-16} \mathrm{\,W m^2}\)
第二放射定数 (Second radiation constant) \(\mathrm{C_2} \approx 0.014387752 \mathrm{\,m K}\)
コンダクタンス量子 (Conductance quantum) \(\mathrm{G_o} \approx 7.748091696×10^{-5} \mathrm{\,S}\)
自然対数の基数（自然定数） (The base number of natural logarithm) \(\mathrm{e} \approx 2.71828182846\)
cf. Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, ``CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No.6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000.
素粒子物理学に関する T シャツ
素粒子物理学 — レプトン、クォーク、グルーオン、フォトン、ボゾン (particle physics — Leptons, Quarks, Gluons, Photon, Boson)レプトン — 電荷 スピン 質量
\[{\large
\begin{align*}
\substack{0\\\frac12\\<1.0\mathrm{\,eVc^{-2}}}~ &\mu_e\text{ — 電子ニュートリノ} &
\substack{0\\\frac12\\<0.17\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu_\mu\text{ — ミューニュートリノ} &
\substack{0\\\frac12\\<18.2\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu_\tau\text{ — タウニュートリノ} \\
%
\substack{-1\\\frac12\\\approx0.511\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &e\text{ — 電子} &
\substack{-1\\\frac12\\\approx105.66\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu\text{ — ミュー粒子} &
\substack{-1\\\frac12\\\approx1.7768\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\tau\text{ — タウ粒子} \\
\end{align*}
}\]
クォーク — 電荷 スピン 質量
\[{\large
\begin{align*}
\substack{\frac23\\\frac12\\\approx2.2\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mathrm{u}\text{ — アップクォーク} &
\substack{\frac23\\\frac12\\\approx1.28\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{c}\text{ — チャームクォーク} &
\substack{\frac23\\\frac12\\\approx173.1\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{t}\text{ — トップクォーク} \\
%
\substack{-\frac13\\\frac12\\\approx4.7\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mathrm{d}\text{ — ダウンクォーク} &
\substack{-\frac13\\\frac12\\\approx96\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mathrm{s}\text{ — ストレンジクォーク} &
\substack{-\frac13\\\frac12\\\approx4.18\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{b}\text{ — ボトムクォーク} \\
\end{align*}
}\]
スカラー粒子 — 電荷 スピン 質量
\[{\large
\begin{align*}
\substack{0\\0\\\approx124.97\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{H}\text{ — ヒッグス粒子} %
\end{align*}
}\]
ゲージ粒子 — 電荷 スピン 質量
\[{\large
\begin{align*}
\substack{0\\1\\0}~ &\mathrm{g}\text{ — グルーオン} &
\substack{0\\1\\0}~ &\gamma\text{ — 光子} \\
%
\substack{\pm1\\1\\80.433\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{W}^\pm\text{ — W ボゾン} &
\substack{0\\1\\\approx91.19\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\mathrm{Z}\text{ — Z ボゾン} %
\end{align*}
}\]
【参考】ラグランジアンとハミルトニアン
自由粒子のラグランジアン
\[
L = \frac12\dot{x}^2
\]
電磁場のラグランジアン — 場のテンソル \(F_{\mu\nu}\)
\[
{\mathcal{L}}(x) = j^{\mu}(x)A_{\mu}(x)-{\frac1{4\mu_0}}F_{\mu\nu}(x)F^{\mu\nu}(x)
\]
シュレディンガー方程式ののラグランジアン*
\[
\mathcal{L} = \frac{i\hbar}{2} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \right) - \frac{\hbar^2}{2m} |\nabla \psi|^2 - V(\mathbf{x}) |\psi|^2
\]
ディラック方程式のラグランジアン密度 — ディラック・スピノル \(\psi\)、そのディラック共役 \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\)、ファインマンのスラッシュ記法 \({\partial}\!\!\!/\ = \gamma^\sigma\partial_\sigma\)
\[
{\mathcal{L}} = i\hbar c{\bar{\psi}}{\partial}\!\!\!/\psi - mc^2{\bar{\psi}}\psi
\]
クライン=ゴルドン方程式のラグランジアン — 粒子の静止質量 \(m\)、光速度 \(c\)、クライン-ゴルドン場 \(\phi\)
\[
{\mathcal{L}}(x) = \frac12\left({\hbar^2}(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi) - m^2c^2\phi^2\right)
\]
量子電磁力学 (QED) のラグランジアン — 電磁テンソル \(F^{\mu\nu}\)、ゲージ共変微分 \(D\)、\(\gamma^\sigma D_\sigma\) に対するファインマンのスラッシュ記法 \({D}\!\!\!\!/\)、電磁場の四元ポテンシャル \(A_\sigma\)
\[
{\mathcal{L}}_{\mathrm{QED} } = i\hbar c{\bar{\psi}}{D}\!\!\!\!/\ \psi-mc^2{\bar{\psi}}\psi-{1\over4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\text{, where }D_{\sigma} = \partial_{\sigma}-ieA_{\sigma}
\]
量子色力学 (QCD) のラグランジアン密度 — QCD ゲージ共変微分 \(D\)、クォークのタイプの数 \(n\)、グルーオン場の強さのテンソル \(G^{\alpha}{}_{\mu\nu}\)
\[
{\mathcal{L}}_{\mathrm{QCD} } = \sum_n\left(i\hbar c{\bar{\psi}}_n{D}\!\!\!/\psi_n - m_nc^2{\bar{\psi}}_n\psi_n\right)-{1\over4}G^{\alpha}{}_{\mu\nu}G_{\alpha}{}^{\mu\nu}
\]
一般相対性理論のアインシュタイン-ヒルベルト作用のラグランジアン*
\[
L = \frac{1}{2} M_{\text{pl}}^2 R
\]
ヒッグス場のラグランジアン*
\[
L = |\partial_\mu \phi|^2 - V(\phi)\text{, where }V(\phi) = \lambda (|\phi|^2 - v^2)^2
\]
量子調和振動子のラグランジアン*
\[
L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
\]
自由粒子のハミルトニアン
\[
H = {1\over{2m}}p_x^2
\]
電磁場のハミルトニアン
\[
H = \int d^3x \left( \frac{1}{2} \mathbf{E}^2 + \frac{1}{2} \mathbf{B}^2 \right)
\]
シュレディンガー方程式のハミルトニアン — 物体の質量 \(m\)、ポテンシャルエネルギー \(V({\boldsymbol{x}})\)、ラプラシアン \(\nabla^2\)、
\[
{\hat{H}} = {\frac{-\hbar^2}{2m}}\nabla^2 + V({\boldsymbol{x}})
\]
ディラック方程式のハミルトニアン*
\[
H = \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{p} + \beta m c^2
\]
クライン=ゴルドンハミルトニアン*
\[
H = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}
\]
量子電磁力学 (QED) のハミルトニアン*
\[
H = \bar{\psi}(i\gamma^0 \gamma^i D_i - m)\psi + \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}
\]
量子色力学 (QCD) のハミルトニアン*
\[
H = \bar{\psi}(-i\gamma^0 \gamma^i \partial_i + m)\psi + \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}
\]
一般相対性理論のアインシュタイン-ヒルベルト作用のハミルトニアン*
\[
H = \int d^3x \left( N \mathcal{H} + N^i \mathcal{H}_i \right)
\]
ヒッグス場のハミルトニアン*
\[
V(\phi) = \lambda (|\phi|^2 - v^2)^2\text{, where }V(\phi) = \lambda (|\phi|^2 - v^2)^2
\]
量子調和振動子のハミルトニアン*
\[
{\hat{H}} = -{\frac{\hbar^2}{2m}}{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+{\frac12}m\omega^2x^2
\]
\[
\begin{split}
\maltese\\
\maltese
\end{split}
\]
シェルピンスキー・ギャスケットのフラクタル構造
シェルピンスキーのギャスケット (Sierpinski gasket)
\(y = \frac1x\) の描画
\(x^2 + y^2 = 3^2\) の描画
\(y = |-2x|\) の描画
\(x = -3|\sin(y)|\) の描画
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\)
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2... \(\mathbb{Q}(\sqrt{3... \(\mathbb{Q}(\sqrt{6... \(\mathbb{Q}(\sqrt{2... \(\mathbb{Q}\) \(\{1\}\) \(\{1, f\}\) \(\{1, fg\}\) \(\{1, g\}\) \(\{1, f, g, fg\}\) Text is not SVG - cannot display
体の拡大
体 \(\mathbb{Q}\) からスタートして、次の形の体拡大:
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) — 有理数体に \(\sqrt{2})\) を付け加えたもの
\(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) — 有理数体に \(\sqrt{3})\) を付け加えたもの
\(\mathbb{Q}(\sqrt{6})\) — 有理数体に \(\sqrt{6})\) を付け加えたもの、\(\sqrt{2}\sqrt{3})\) より
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) — \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) と \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) の両方を含む拡大体
これらは段階的に拡大されていく体で、最も大きな体 \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) がガロア拡大
ガロア群
ガロア拡大のガロア群は、その拡大体上の自動同型群であり、体の構造を保つ変換。この例におけるガロア群は次の通り:
\(\{1, f, g, fg\}\) — \(f\) は \(\sqrt{2})\) を \(-\sqrt{2})\)、\(g\) は \(\sqrt{3})\) を \(-\sqrt{3})\) に写す変換。
それぞれの組み合わせでできる変換がガロア群の元
\(\{1, f\}\) — \(f\) による変換のみが可能な部分群 \(\sqrt{2}\) のみが関わる拡大に対応
その T シャツに書かれている英文
Unfortunately, what is little recoglized is that
the most worthwhile scientific books are those in
which the author dearly indicates what he does
not know; for an author most hurts his readers
by concealing difficulties.
その英文の和訳 (by Google, DeepL, ChatGPT and T.Y.)
残念ながら、ほとんど認識されていないのは、
最も価値のある科学書とは、
著者が自分の知らないことを
素直に示している書物であるということです。
なぜなら、著者が読者に最も害を及ぼすのは、困難さを隠すときであるからです。
コドンに関する T シャツ（と右図、コドンとアミノ酸の関係）
G A A A A A G G G G C C C C U U U U U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G U C A G P S U nG nG oG oG oG G P P P P P nM nM M M nM nM nM 苯丙氨酸 Phenylalanine Phe 白胺酸 Leucine Leu 白胺酸 Leucine Leu 脯胺酸 Proline Pro 組胺酸 Histidine His 麩醯胺酸 Glutamine Gln 異白胺酸 Isoleucine Ile 甲硫胺酸 Methionine Met 蘇胺酸 Threonine Thr 天門冬醯胺酸 Asparagine Asn 離胺酸 Lysine Lys 精胺酸 Arginine Arg 精胺酸 Arginine Arg 纈氨酸 Valine Val 丙氨酸 Alanine Ala 麩胺酸 Glutamic acid Glu 天冬氨酸 Aspartic acid Asp 甘氨酸 Glycine Gly 絲氨酸 Serine Ser 絲氨酸 Serine Ser 酪氨酸 Tyrosine Tyr 半胱氨酸 Cysteine Cys 色氨酸 Tryptophan Trp 終止子 Stops 終止子 Stop E G F L S S Y C W L P H R R Q I M T N K V A D 89.09 75.07 174.20 174.20 146.19 165.19 133.11 117.15 147.13 146.15 155.16 115.13 105.09 105.09 131.18 132.12 MW = 149.21 Da 131.18 119.12 204.23 131.18 181.19 121.16 HN NH 2 NH H 2 N OH O H 2 N C H 3 OH O H 2 N O H 2 N OH O O HO H 2 N OH O HS H 2 N OH O H 2 N O NH 2 OH O O OH H 2 N OH O H 2 N OH O NH H 2 N OH O N C H 3 C H 3 H 2 N OH O C H 3 C H 3 H 2 N OH O C H 3 C H 3 H 2 N OH O H 2 N H 2 N OH O C H 3 S H 2 N OH O H 2 N OH O NH OH O H 2 N HO OH O H 2 N HO OH O H 2 N HO C H 3 OH O NH H 2 N OH O HO H 2 N OH O H 2 N C H 3 C H 3 OH O 鹼 Basic 酸 Acidic 極性 Polar 非極性 Nonpolar (疏水性) (hydrophobic) S - M - P - U - nM - oG - nG - Sumo Methyl Phospho Ubiquitin N-Methyl O-glycosyl N-glycosyl Modification 胺基酸 amino acid 2 nd 1 st position 3 rd U C
アミノ酸の分類：
分岐鎖アミノ酸 (BCAA) ：バリン、ロイシン、イソロイシン
芳香族アミノ酸：フェニルアラニン、トリプトファン、チロシン
アミノ酸の性質による分類：
非極性・疎水性：アラニン、バリン、ロイシンなどは水に溶けにくく、タンパク質の内部に位置して構造を安定化する
極性：セリン、スレオニン、グルタミンなどは水に親和性があり、タンパク質の表面に位置することが多い
塩基性・酸性：アルギニンやアスパラギン酸のように、pHに依存してプロトンを受け渡ししする
必須アミノ酸と非必須アミノ酸：
必須アミノ酸は、食事から摂取しなければならないもの (例：ロイシン、バリン、イソロイシン)
非必須アミノ酸は体内で合成可能なもの (例：アラニン、グリシン)
芳香族アミノ酸：
フェニルアラニン、チロシン、トリプトファンは芳香環を持ち、神経伝達物質やホルモンの前駆体になる
特殊なアミノ酸：
メチオニン：開始コドン (AUG) として、タンパク質合成のスタートを示す
プロリン：環状構造を持ち、タンパク質の折りたたみに影響を与える
終止コドンの説明：
終止コドン (UAA, UAG, UGA) は翻訳の終了シグナルを示す
和名 英名 符号 3文字記号 解説 コドン
アラニン Alanine A Ala 非極性・疎水性。エネルギー供給や筋肉代謝に重要。 GCU, GCC, GCA, GCG
アルギニン Arginine R Arg 塩基性。尿素回路や一酸化窒素 (NO) 生成に関与。 CGU, CGC, CGA, CGG, AGA, AGG
アスパラギン Asparagine N Asn 極性。タンパク質の糖鎖付加に関与。 AAU, AAC
アスパラギン酸 Aspartic acid D Asp 酸性。興奮性神経伝達物質としても働く。 GAU, GAC
システイン Cysteine C Cys 極性。ジスルフィド結合でタンパク質を安定化。 UGU, UGC
グルタミン Glutamine Q Gln 極性。アンモニア代謝と免疫に関与。 CAA, CAG
グルタミン酸 Glutamic acid E Glu 酸性。神経伝達物質や代謝に関与。 GAA, GAG
グリシン Glycine G Gly 非極性。コラーゲンに多く含まれ、柔軟性を提供。 GGU, GGC, GGA, GGG
ヒスチジン Histidine H His 塩基性。pH依存のプロトン移動を行い、酵素活性に関与。 CAU, CAC
イソロイシン Isoleucine I Ile 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉のエネルギー源。 AUU, AUC, AUA
ロイシン Leucine L Leu 非極性・分岐鎖アミノ酸。タンパク質合成促進に重要。 UUA, UUG, CUU, CUC, CUA, CUG
リシン Lysine K Lys 塩基性。タンパク質修飾やカルニチン合成に関与。 AAA, AAG
メチオニン Methionine M Met 非極性。開始コドンで、メチル供与体としても重要。 AUG
フェニルアラニン Phenylalanine F Phe 非極性・芳香族アミノ酸。神経伝達物質の前駆体。 UUU, UUC
プロリン Proline P Pro 非極性。タンパク質の二次構造に独特の影響を与える。 CCU, CCC, CCA, CCG
セリン Serine S Ser 極性。糖鎖付加や代謝の中間体として重要。 UCU, UCC, UCA, UCG, AGU, AGC
スレオニン Threonine T Thr 極性。リン酸化される部位として重要。 ACU, ACC, ACA, ACG
トリプトファン Tryptophan W Trp 非極性。セロトニンやメラトニンの前駆体。 UGG
チロシン Tyrosine Y Tyr 極性。ホルモンや神経伝達物質の前駆体。 UAU, UAC
バリン Valine V Val 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉代謝に関与。 GUU, GUC, GUA, GUG
終止コドン Stop * Stop 翻訳終了を示すシグナル。 UAA, UAG, UGA
鉱物に関する T シャツ
画像にある 30 個の鉱物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
Iron Ore = 鉄鉱石 (アイアンオア) — 主に鉄を採取するための鉱物
Bauxite = ボーキサイト — アルミニウムの主要な原料鉱石
Sandstone = 砂岩 (サンドストーン) — 砂粒が固まって形成された岩石
Marlstone = 泥灰岩 (マールストーン) — カルシウムと粘土が混ざった岩石
Magnetite = 磁鉄鉱 (マグネタイト) — 鉄鉱石で磁性を持つ
Gypsum = 石膏 (ジプサム) — 建材などに利用される
Asbestos = アスベスト — 耐火性のある鉱物だが健康リスクがある
Feldspar = 長石 (フェルドスパー) — 多くの岩石に含まれる成分
Chalcopyrite = 黄銅鉱 (カルコパイライト) — 銅の主要な鉱石
Flint = 火打石 (フリント) — 鋭利な工具や火を起こすために使われた
Lead Glance = 方鉛鉱 — 鉛を含む鉱物
Hematite = 赤鉄鉱 — 鉄の重要な供給源
Magnesite = 菱苦土鉱 — マグネシウムを含む鉱石
Sulfur = 硫黄 — 工業用途が広い鉱物
Pyrite = 黄鉄鉱 — 金に似た外観から「愚者の金」と呼ばれる
Sulfur Pyrite = 硫化黄鉄鉱 — 黄鉄鉱の硫黄が豊富な形態
Limonite = 褐鉄鉱 — 鉄を含む水酸化物鉱物
Phosphorite = 燐鉱 — リン酸の供給源となる鉱物
Kaolin = カオリン — 陶器や紙の製造に使われる粘土鉱物
Fluorite = 蛍石 — フッ化物の供給源
Red Granite = 赤花崗岩 — 建築材として人気が高い
Brown Coal = 褐炭 — 低級の石炭でエネルギー資源
Anthracite = 無煙炭 — 最も純度の高い炭
Black Coal = 黒炭 — 石炭の一種
Siderite = 菱鉄鉱 — 鉄の供給源の一つ
Corundum = コランダム — 硬度が非常に高く、サファイアやルビーの主要成分
Agate = 瑪瑙 — 装飾品に使われる美しい模様のある鉱物
Marble = 大理石 — 彫刻や建材に使われる
Apatite = アパタイト — リン酸塩鉱物で肥料などに利用
Graphite = 石墨 — 鉛筆の芯や潤滑剤として使用される
水棲動物に関する T シャツ、ではなくバッグ
画像にある 42 個の水生動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
Angelfish = エンゼルフィッシュ — 熱帯魚として有名で、三角形の体を持つ
Angler = アンコウ — 深海に住む魚で、頭から伸びた発光器官で獲物をおびき寄せる
Arapaima = アラパイマ — 南米アマゾン川流域に生息する大型の淡水魚
Arowana = アロワナ — 美しい体色で、特にアジアアロワナが人気の淡水魚
Blowfish = フグ — フグ毒を持つことで知られる魚。膨らむ防御反応が特徴的
Bullfrog = ウシガエル — 大型のカエルで、強い鳴き声が特徴
Coelacanth = シーラカンス — 生きた化石とも呼ばれ、長らく絶滅したと思われていた深海魚
Catfish = ナマズ — 川や湖に生息し、髭のような触手が特徴的な魚
Clione = クリオネ — 「流氷の天使」として知られる、海に生息する美しい小さな軟体動物
Clownfish = クマノミ — イソギンチャクと共生する鮮やかなオレンジ色の魚
Crocodile = ワニ — 強力な顎を持ち、淡水と海水に生息する大型の爬虫類
Dojo Loach = ドジョウ — 川や池に生息する小型の淡水魚で、泥に潜る習性あり
Dolphin = イルカ — 高い知能と社交性を持ち、海洋生物の中でも非常に人気のある動物
Dugong = ジュゴン — 温暖な沿岸に生息し、海草を主に食べる海生哺乳類
Flying Fish = トビウオ — 水面上を飛ぶように滑空する魚
Frogfish = カエルアンコウ — 擬態の達人で、海底でじっとして獲物を待つ
Giant Clam = オオシャコガイ — 非常に大きく、色鮮やかな二枚貝で、サンゴ礁に生息
Guppy = グッピー — 飼育しやすい熱帯魚で、カラフルな体色が特徴
Hermit Crab = ヤドカリ — 貝殻を自分の住処として利用する甲殻類
Killer Whale = シャチ — 魚類や海獣を捕食する、海洋の頂点捕食者
Jellyfish = クラゲ — ゼラチン質の体と触手を持つ浮遊生物
Koi = コイ=鯉 — 日本の庭園や池でよく見られる鮮やかな色の淡水魚
Lionfish = ミノカサゴ — 美しいが毒のある棘を持つ、インド太平洋の魚
Lobster = ロブスター — 大型の甲殻類で、高級料理としても知られる
Manatee = マナティ — 海草を食べる草食性の海生哺乳類
Manta Ray = マンタ — 巨大な体を持ち、優雅に泳ぐ海洋生物
Marlin = カジキ — 速度と力を誇る魚で、スポーツフィッシングで人気
Medaka = メダカ — 日本をはじめ東アジアの淡水域に生息する小型の魚
Mola Mola = マンボウ — 世界最大の硬骨魚類で、独特の平たい体を持つ
Octopus = タコ — 高い知能を持つ軟体動物で、8本の腕を持つ
Piranha = ピラニア — 南米の淡水魚で、鋭い歯と攻撃的な性質で知られる
Ryukin = リュウキン=琉金 — 日本で育成された金魚の一種で、独特の丸い体が特徴
Salmon = サケ — 川で生まれ、海に移動してから再び川に戻って産卵する魚
Seahorse = タツノオトシゴ — 頭が馬の形に似ている小さな魚で、雄が子供を育てる
Sea Slug = ウミウシ — 鮮やかな色を持つ軟体動物で、毒を持つ種もいる
Sea Snake = ウミヘビ — 強い毒を持つ海に生息する蛇
Sea Turtle = ウミガメ — 海を泳ぎ、砂浜に卵を産む大型の爬虫類
Sea Urchin = ウニ — 棘に覆われた球状の海洋生物
Shark = サメ — 海洋の頂点捕食者で、数多くの種類が存在
Squid = イカ — 鋭い目と腕を持ち、高速で泳ぐ軟体動物
Tuna = マグロ — 高速で泳ぐ魚で、商業漁業の重要な対象
Whale = クジラ — 地球上で最大の動物で、海洋生物の代表的存在
絶滅危惧動物に関する T シャツ
画像にある 72 種の絶滅危惧動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
African elephant = アフリカゾウ=阿弗利加象 — アフリカに生息する大型のゾウ。象牙を狙った密猟が深刻な問題
Amami rabbit = アマミノクロウサギ=奄美の黒兎 — 日本の奄美大島固有のウサギ。森林破壊と捕食者の増加が脅威
Arabian Camel = アラビアラクダ=ヒトコブラクダ=一瘤駱駝 — 中東地域に生息するラクダ。乾燥地帯に適応した種
Asian black bear = ツキノワグマ=月輪熊 — アジアの山岳地帯に生息。生息地の破壊と狩猟が問題
Axolotl = アホロートル=メキシコサンショウウオ — メキシコに生息する水中サンショウウオ。環境汚染が脅威
Bengal Tiger = ベンガルトラ — インド亜大陸に生息する大型ネコ科動物。密猟と森林伐採が原因で減少
Blue whale = シロナガスクジラ=白長須鯨 — 世界最大の哺乳類で、かつての捕鯨で個体数が激減
Brown long-eared bat = ウサギコウモリ — ヨーロッパやアジアに生息するコウモリ。生息地の減少が脅威
Cheetah = チーター — アフリカに生息する最速の陸上動物。生息地の破壊が大きな問題
Chimpanzee = チンパンジー — 中央アフリカに生息する類人猿。密猟や森林伐採が脅威
Chinese box turtle = セマルハコガメ=背丸箱亀 — 中国に生息するカメ。ペット目的の捕獲が問題
Chinese pangolin = センザンコウ — アジアに生息する鱗を持つ哺乳類。鱗の密輸が脅威
Chinese softshell turtle = スッポン=鼈=龞=鱉 — 中国や東南アジアに生息するカメ。水質汚染が問題
Chinchilla = チンチラ — 南米に生息する小型の哺乳類。毛皮目的の狩猟で絶滅危機
Coconut crab = ヤシガニ=椰子蟹 — 熱帯地域に生息する世界最大の陸生甲殻類。生息地の減少が問題
Coelacanth = シーラカンス — 化石魚として知られ、インド洋沿岸に少数生息
Crested ibis = トキ=朱鷺=鴇=桃花鳥=紅鶴=鴾 — 日本と中国に生息する鳥類。生息地の減少と環境汚染が問題
Fishing cat = フィッシングキャット — 東南アジアに生息するネコ科動物。湿地の減少が脅威
Galápagos giant tortoise = ガラパゴスゾウガメ — ガラパゴス諸島に生息。生息地の破壊が脅威
Gharial = ガビアル — インドの川に生息するワニの仲間。川の汚染とダム建設が脅威
Giant anteater = オオアリクイ=大蟻食 — 南アメリカの草原に生息する哺乳類。生息地の喪失が問題
Giant clam = オオシャコガイ — インド太平洋のサンゴ礁に生息する大型の二枚貝。過剰採取が脅威
Giant panda = ジャイアントパンダ — 中国に生息し、竹を主食とする。生息地の減少が主な問題
Giant water bug = タガメ — 日本やアジアに生息する水生昆虫。環境破壊による生息地の減少が脅威
Giraffe = キリン=麒麟 — アフリカのサバンナに生息。密猟と生息地の喪失が脅威
Golden hamster = ゴールデンハムスター — シリアに生息する小型の哺乳類。ペットとして人気
Golden lion tamarin = ゴールデンライオンタマリン — ブラジルの熱帯雨林に生息する小型のサル。生息地の喪失が問題
Gorilla = ゴリラ — 中央アフリカの森林に生息する大型類人猿。密猟と生息地の破壊が問題
Great white shark = ホホジロザメ=頬白鮫 — 世界中の海に生息する大型のサメ。乱獲と環境破壊が脅威
Hawksbill turtle = タイマイ=玳瑁=瑇瑁 — 熱帯の海に生息するウミガメ。貝殻目的の密猟が問題
Indian star tortoise = インドホシガメ=印度星亀 — インド亜大陸に生息するカメ。ペット取引が脅威
Iriomote cat = イリオモテヤマネコ=西表山猫 — 日本の西表島にのみ生息する希少なネコ。生息地の減少が問題
Japanese crucian carp = ゲンゴロウブナ=源五郎鮒 — 日本の淡水域に生息する魚。水質汚染と外来種の影響が脅威
Japanese eel = ニホンウナギ=日本鰻 — 日本を含む東アジアの河川に生息するウナギ。過剰漁獲と生息地の減少が問題
Japanese killifish = ミナミメダカ=南目高 — 日本に生息する小型の魚。水質汚染と生息地の喪失が脅威
Java sparrow = ブンチョウ=文鳥 — 東南アジアに生息する小鳥。生息地の減少とペット取引が脅威
King cobra = キングコブラ — インドや東南アジアに生息する世界最長の毒蛇。生息地の減少が脅威
Koala = コアラ — オーストラリアに生息する樹上性の哺乳類。森林伐採が主な脅威
Komodo dragon = コモドドラゴン — インドネシアの一部の島にのみ生息する大型のトカゲ。生息地の減少が問題
Leatherback turtle = オサガメ=長亀 — 世界中の温帯・熱帯海域に生息するウミガメ。乱獲と環境破壊が脅威
Leopard = ヒョウ=豹 — アフリカとアジアに生息する大型ネコ科動物。密猟と生息地の喪失が問題
Lion = ライオン=シシ=獅子 — アフリカのサバンナに生息する大型肉食獣。密猟と生息地の減少が問題
Loggerhead turtle = アカウミガメ=赤海亀 — 世界中の海に生息するウミガメ。乱獲や海洋汚染が脅威
Malayan tapir = マレーバク=馬来獏 — 東南アジアに生息する哺乳類。森林伐採が問題
Manatees = マナティー — 温暖な沿岸地域に生息する大型草食性哺乳類。船との衝突や生息地の破壊が脅威
Manta ray = マンタ=オニイトマキエイ=鬼糸巻鱝 — 熱帯・温帯の海に生息する大型のエイ。漁業による混獲が脅威
Marine iguana = ウミイグアナ=海立髪竜 — ガラパゴス諸島に生息するウミイグアナ。生息地の破壊が問題
Napoleon fish = ナポレオンフィッシュ=メガネモチノウオ=眼鏡持之魚 — インド太平洋に生息する大型魚
Ocean sunfish = マンボウ — 世界中の温暖な海に生息する大型の海洋魚。乱獲や海洋汚染が脅威
Okapi = オカピ — 中央アフリカの熱帯雨林に生息するキリンの近縁種。生息地の減少と密猟が脅威
Okinawa rail = ヤンバルクイナ=山原水鶏 — 日本の沖縄にのみ生息する希少な鳥類。外来種の捕食と生息地の減少が問題
Ocelot = オセロット — 中南米に生息する中型のネコ科動物。斑点模様の美しい毛皮を持ち、森林地帯で活動することが多い。密猟と生息地の減少が脅威
Orangutan = オランウータン — インドネシアとマレーシアに生息する大型の類人猿。森林伐採と密猟が脅威
Oriental stork = コウノトリ=鸛 — 日本や中国に生息する大型の鳥。湿地の減少や乱獲が原因で絶滅危惧種
Pacific bluefin tuna = クロマグロ=黒鮪 — 太平洋に生息するマグロの一種。過剰漁獲が大きな問題となっている
Polar bear = ホッキョクグマ=北極熊 — 北極圏に生息する大型の肉食獣。気候変動による氷の減少が脅威
Pygmy marmoset = ピグミーマーモセット — 南米の熱帯雨林に生息する世界最小のサル。生息地の減少が問題
Red-crowned crane = タンチョウ=丹頂 — 日本、中国、韓国などに生息する大型のツル。湿地の減少が脅威
Red panda = レッサーパンダ — 中国やヒマラヤ山脈に生息する小型の哺乳類。森林伐採と生息地の喪失が問題
Rhinoceros = サイ=犀 — アフリカとアジアに生息。密猟により角を狙われ、絶滅の危機にある
Ring-tailed lemur = ワオキツネザル=輪尾狐猿 — マダガスカルに生息する霊長類。森林伐採が脅威
Sea otter = ラッコ=海獺 — 北太平洋の沿岸に生息する水生哺乳類。毛皮目的の狩猟と環境汚染が脅威
Shoebill = ハシビロコウ=嘴広鸛 — アフリカの湿地に生息する大型の鳥。湿地の減少が問題
Short-tailed albatross = アホウドリ — 北太平洋に生息する大型の海鳥。卵の採取や海洋汚染が脅威
Sperm whale = マッコウクジラ=抹香鯨 — 世界中の海に生息する大型のクジラ。捕鯨と海洋汚染が問題
Steller's sea eagle = オオワシ=大鷲 — 北東アジアに生息する大型のワシ。生息地の減少が脅威
Tsushima cat = ツシマヤマネコ=対馬山猫 — 日本の対馬に生息する希少なネコ科動物。生息地の減少が脅威
Walrus = セイウチ=海象=海馬 — 北極圏の海岸に生息する大型の海獣。気候変動と氷の減少が脅威
Water beetle = ミズムシ=水虫 — 淡水域に生息する水生昆虫。水質汚染と生息地の減少が問題
Whale shark = ジンベエザメ=甚兵衛鮫 — 世界中の温暖な海に生息する最大の魚類。乱獲と海洋汚染が脅威
White cockatoo = タイハクオウム=大白鸚鵡 — やインドネシアに生息する大型のインコ。ペット取引と森林伐採が脅威
Zebra = シマウマ=縞馬=斑馬 — アフリカのサバンナに生息する草食動物。密猟と生息地の喪失が問題
さまざまな環境問題や密猟などによって絶滅の危機に瀕しており、保護活動が重要
昆虫に関する T シャツ
画像にある 42 種の昆虫について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
Army Ant = グンタイアリ — 攻撃的で集団行動をとるアリ
Autumn Darter = アキアカネ — 秋に見られる赤いトンボ
Bell Cricket = スズムシ — 美しい鳴き声を持つ昆虫
Brown Huntsman Spider = ブラウンハンツマンスパイダー — 大型で素早く動くクモ
Caucasus Beetle = コーカサスオオカブト — 大型で強力な角を持つ甲虫
Doodlebug = ウスバカゲロウの幼虫 — 砂に穴を掘って獲物を待ち伏せする幼虫
Dorcus Hopei Binodulosus = ホペイオオクワガタ — 大きな顎を持つクワガタムシ
Drone Beetle = クロハナムグリ — 光沢のある甲虫
Emma Field Cricket = エマフィールドクリケット — 草地に生息するコオロギ
European Earwig = ヨーロッパハサミムシ — ハサミ状の尾を持つ昆虫
European Stag Beetle = ヨーロッパクワガタ — ヨーロッパに分布する大きな顎を持つクワガタ
Giant Water Bug = タガメ — 水生の大型捕食昆虫
Golden-ringed Dragonfly = ゴールデンリングドドラゴンフライ — 金色のリング模様を持つトンボ
Hercules Beetle = ヘラクレスビートル — 大きな顎と角を持つ甲虫
Honey Bee = ミツバチ — 蜜を集める社会性昆虫
Inchworm = シャクトリムシ — 特徴的な体の動きで進む幼虫
Japanese Carpenter Ant = クロオオアリ — 木材に巣を作るアリ
Japanese Firefly = ジャパニーズファイヤフライ — 日本で見られるホタル
Japanese Giant Hornet = ジャパニーズジャイアントホーネット — 日本最大のスズメバチ
Japanese Horned Beetle = カブトムシ — 大きな角を持つ日本のカブトムシ
Jewel Beetle = タマムシ — 金属光沢を持つ甲虫
Joro Spider = ジョロウグモ — 日本で見られるカラフルな大型クモ
Large Brown Cicada = アブラゼミ — 夏に見られる大型の茶色いセミ
Man-faced Shield Bug = マンフェイスシールドバグ — 背中に人の顔のような模様があるカメムシ
Mantis = カマキリ — 鋭い前肢で獲物を捕らえる昆虫
Migratory Locust = トノサマバッタ — 群れを作って移動するバッタ
Mole Cricket = モグラコオロギ — 地中で生活する昆虫
Oriental Long-headed Locust = ショウリョウバッタ — 細長い頭を持つバッタ
Pill Bug = ダンゴムシ — 丸まって身を守る甲殻類
Emperor Stag Beetle = エンペラークワガタ — 大きく強力なクワガタムシ
Saw Stag Beetle = ノコギリクワガタ — ノコギリのような顎を持つクワガタムシ
Seven-spotted Ladybug = ナナホシテントウ — 7 つの斑点を持つテントウムシ
Silkworm = カイコ — 繭を作り、養蚕業に利用される幼虫
Small Cabbage White Butterfly = モンシロチョウ — 小さく白い翅を持つ蝶
Stick Insect = ナナフシ — 茶色く、木の枝に擬態する昆虫
Swallowtail Butterfly = アゲハチョウ — 美しい翅を持つ蝶
Water Beetle = 水生甲虫 — 一般的な水中に住む甲虫類
Water Scorpion = タイコウチ — 水中で獲物を捕らえる水生昆虫
Water Stick Insect = 水ナナフシ — ナナフシに似た水中に住む昆虫
Water Strider = アメンボ — 水面を歩く細長い水生昆虫
White Spotted Longhorn Beetle = ホワイトスポッテッドカミキリムシ — 白い斑点を持つカミキリムシ
White-tailed Skimmer = オオシオカラトンボ — 白い尾を持つトンボ
SVD: Singular Value Decomposition for all sciences based on computation by Eckart–Young (1936)
これは、C. Eckart と G. Young により考案された SVD: Singular Value Decomposition (1936) であり、計算機科学の発展に相まって、ほぼすべての科学に応用される行列解析（数学）である。
「ホーキング輻射に関するベッケンシュタイン=ホーキングの公式」のパーカー
ブラックホールのホーキング輻射に関するベッケンシュタイン=ホーキングの公式。ブラックホールのエントロピー \(S\), 光速 \(c\), ボルツマン定数 \(k\), ブラックホールの事象の地平面（イベントホライズン）の面積 \(A\), ディラック定数 \(\hbar\), 万有引力定数 \(G\) として、
\[
S = \frac{c^3kA}{4\hbar G}
\]
この式から、ブラックホールのエントロピー \(S\) はその事象の地平面の面積 \(A\) に比例することがわかる。
「ゼロ除算による誤った導出」のパーカー
以下の導出は誤りである。
\[
\begin{gather*}
A = B \\
A^2 = AB \\
2A^2 = A^2 + AB \\
2A^2 - 2AB = A^2 + AB - 2AB \\
2A^2 - 2AB = A^2 - AB \\
2A(A - B) = A(A - B) \\
2A = A \\
\text{(ここで、\(A = B\) ゆえに \(A - B = 0\) で除算を行ってしまっている。)}\\
2 = 1
\end{gather*}
\]
「１次元の井戸型ポテンシャル中の自由電子ほか」のパーカー
\[
\begin{split}
E_n &= \frac{h^2}{8ml^2}n^2
= \frac{(2\hbar\pi)^2}{8ml^2}n^2
= \frac{4\hbar^2\pi^2}{8ml^2}n^2 \\
&= \frac{\hbar^2\pi^2}{2ml^2}n^2
\end{split}
\]
これは、一見 (主観的に) 見慣れないけれども、以上のようにプランク定数からディラック定数に置き換えれば、 (主観的に) 見慣れた、１次元の井戸型ポテンシャル中の自由電子のエネルギー順位差となる。
ドレイクの方程式 — 我々がいる銀河系に存在するコミュニケーション能力をもつ地球外文明の数 \(N\)
\(N \) 地球外文明の数
\(R_* \) 銀河系における 1 年当たりに恒星が誕生する数
\(f_p \) それらの恒星のうち、惑星の携帯が可能な恒星の割合
\(n_e \) それらの恒星のうち、生命の維持が可能な惑星の平均数
\(f_l \) それらの惑星のうち、生命の誕生がされる惑星の割合
\(f_i \) それらの惑星のうち、知的生命体まで進化する惑星の割合
\(f_c \) それらの惑星のうち、知的生命体が星間通信ができる割合
\(L \) それら生命体により、星間通信できる状態の期間
これは、値が取り得る幅が大きい推定値であり、あくまで「地球外生命体と人類がコンタクトを取り合うか」という議論のネタとしてドレイクが提案した式に過ぎない。
よって、以上のパラメータそれぞれには議論の余地が多分の含まれている。
まずは、1961 年にドレイクらが提案したパラメータによると以下のようになる。
\[
N = 10 \times 0.5 \times 2 \times 1.0 \times 0.01 \times 0.01 \times 10,000 = 10.0
\]
そして、1961 年にドレイクらが提案したパラメータの最小値は以下のようになる。
\[
N = 1 \times 0.2 \times 1 \times 1.0 \times 1.0 \times 0.1 \times 1,000 = 20.0
\]
そして、1961 年にドレイクらが提案したパラメータの最大値は以下のようになる。
\[
N = 1 \times 0.5 \times 5 \times 1.0 \times 1.0 \times 0.2 \times 100,000,000 = 50,000,000.0
\]
詳しくは以下に詳しい。
「元素記号による “CAT / cat (猫 / ねこ)”, “FATHER / father (父 / ちち)”, “GENIUS / genius (天才 / てんさい)”, “HATER / hater (ネットで、アンチな奴)”」のパーカー
CAT \(\ce{{}_{\phantom{00}6}C}\) = Carbon 炭素 14 族 06 — 生命をつくる基本元素や、ダイヤモンド、グラフェン／グラファイト、フラーレン／カーボンナノチューブ、プラスチック、ゴム、墨、鉛筆、合成繊維、炭素繊維、活性炭（浄水器や脱臭剤）などの基本元素。
\(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) = Astatine アスタチン 17 族 85 — ギリシャ語「astatos=不安定」が語源。天然にはほとんど存在しないため、1940 年にサイクロトロンで人工製造。\(\ce{{}^{211}_{\phantom{0}85}At}\) から放出されるアルファ線を利用した将来のがん治療薬として期待。
FATHER \(\ce{{}_{\phantom{00}9}F}\) = Fluorine 弗 （ フッ ） 17 族 09 — 蛍石（Fluorite）ちなんで命名。フッ化水素はガラスの加工に、フッ素配合歯磨き粉、フッ化炭素樹脂は熱に強い＆水や油を弾く、その一つポリテトラフルオロエチレン （ PTFE: poly tetra fluoro ethylene ） ®️ 」として知られる。天然の単体は気体では存在せず、他の元素と化合。
\(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) = Astatine アスタチン 上記「アスタチン」に同じ。
\(\ce{{}_{\phantom{00}1}H}\) = Hydrogen 水素 01 族 01 — 生命の DNA 二重螺旋の水素結合や、水、硫酸、クエン酸、アミノ酸、核磁気共鳴画像法 （ MRI: magnetic resonance imaging ）
\(\ce{{}_{\phantom{0}68}Er}\) = Erbium エルビウム 15 族 68 — 医療用レーザー、1995 年に敷設した九州-沖縄間の長距離光通信の光ファイバー増幅器（エルビウム添加光ファイバ増幅器 (EDFA: erbium-doped fiber amplifier)）。
GENIUS \(\ce{{}_{\phantom{0}32}Ge}\) = Germanium ゲルマニウム 14 族 32 — 半金属、半導体材料（初期）、トランジスタラジオ（初期）、プリズム光ファイバーの屈折率の制御、太陽電池等の半導体部品、赤外線用レンズ、健康グッズ（ブレスレット、ネックレス、腰痛ベルト等）、化粧品、温浴成分。ゲルマニウム利用を喧伝する食品や健康グッズには注意。
\(\ce{{}_{\phantom{0}28}Ni}\) = Nickel ニッケル 10 族 28 — ドイツ語の「kupfernickel=悪魔の銅」が語源。高い導電性（鉄、クロム＜ニッケル＜銅）、ニクロム線（電熱器）、ニッケル超合金としてタービン翼（ジェット機）、ニッカド電池（Ni + Cd カドニウム）、形状記憶合金（Ti チタン + Ni）、装飾用メッキ、硬貨（白銅：Cu 銅 + Ni）
\(\ce{{}_{\phantom{0}92}U}\) = Uranium ウラン 07 族 92 — ウランガラス（工芸品：ガラス＋ウラン）やアクセサリー、原子力発電（濃縮ウラン \(\ce{{}^{235}_{\phantom{0}92}U}\)：核分裂連鎖反応を起こす）、地球年代測定（ウラン-鉛法 (U-Pb法)）の一つ。ウランガラスに紫外線ランプ（ブラックライト）を当て緑色に蛍光（正確には燐光）する現象＝フォト・ルミネセンスは様々な実用性がある。天然には \(\ce{{}^{238}_{\phantom{0}92}U}\) と \(\ce{{}^{235}_{\phantom{0}92}U}\) で構成される。
\(\ce{{}_{\phantom{0}16}S}\) = Sulfur 硫黄
16 族 16 — ラテン語の「sulfur=燃える石(brimstone)」が語源。温泉, ニンニク, 玉ねぎの硫黄臭、
天然ゴムに弾力性、中性洗剤の主な成分、メチオニン \(\ce{C_5H_{11}NO_2S}\)（９種の必須アミノ酸の一つ）、
硫酸 \(\ce{H_2SO_4}\)（化学工業上で最重要な酸）、希硫酸（酸としての用途）、濃硫酸（脱水剤や乾燥剤としての用途）、
カテネーション（ケイ素、硫黄、ホウ素など）を生じやすく 30 種以上の同素体があり種々の硫黄を含んだ化合物が合成される。
HATER \(\ce{{}_{\phantom{00}1}H}\) = Hydrogen 水素 上記「水素」に同じ。
\(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) = Astatine アスタチン 上記「アスタチン」に同じ。
\(\ce{{}_{\phantom{0}68}Er}\) = Erbium エルビウム 上記「エルビウム」に同じ。
“FATHER / father” があるなら “MOTHER / mother” があるか、となるが、一文字の M, O, T, H はないものの、二文字の Mo Molybdenum (モリブデン ), Th Thorium (トリウム ) があるので、デザイン可能である。
MOTHER \(\ce{{}_{\phantom{0}42}Mo}\) = Molybdenum モリブデン 06 族 42 — 輝水鉛鉱（molybdenite）は二硫化モリブデン \(\ce{MoS_2}\) であり、これが語源。クロム族（クロム \(\ce{Cr}\)。モリブデン \(\ce{Mo}\)、タングステン \(\ce{W}\)、シーボーギウム \(\ce{Sg}\)＝遷移金属⊂遷移元素⊂金属）。超硬度（強度部材や合金添加剤）、超高融点 (約2600℃)、超耐熱（耐熱部材）、超耐食、潤滑油添加剤、石油精製触媒、
必須微量ミネラル（補酵素、代謝に必須）の一つ。
\(\ce{{}_{\phantom{0}90}Th}\) = Thorium トリウム 無 族 90 — アクチノイド系、放射性元素。
\(\ce{{}^{232}_{\phantom{0}90}Th}\) は天然に存在、\(\ce{{}^{232}_{\phantom{0}90}Th}\) は以下:
\[
\ce{{}^{232}_{\phantom{0}90}Th + n -> {}^{233}_{\phantom{0}91}Pa + e- -> {}^{233}_{\phantom{0}92}U} + e-
\]
\(\ce{{}^{232}_{\phantom{0}90}Th}\) トリウムは \(\ce{n}\) 中性子（neutron）を吸収して、
\(\ce{{}^{233}_{\phantom{0}91}Pa}\) プロトアクチニウムとなり、それがベータ崩壊して、
\(\ce{{}^{233}_{\phantom{0}92}U}\) ウランのような核燃料に、
アーク溶接用電極（\(\ce{Th}\) トリウムを数% を含む \(\ce{W}\) タングステン）、
高屈折率レンズに安定な化合物 \(\ce{ThO_2}\)。
\(\ce{{}_{\phantom{0}68}Er}\) = Erbium エルビウム 上記「エルビウム」に同じ。
「特殊相対性理論における時間の遅れ」と「電磁場の方程式におけるアンペール＝マクスウェルの法則」
特殊相対性理論における時間の遅れ
\[
\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1 - {v^2}/{c^2}}}
\]
記号 意味 \(\Delta t'\) 動いている観測者が測定する経過時間 \(\Delta t\) 静止系での経過時間 \(v\) 観測者の相対速度 \(c\) 光速（\(≈ 3.00 \times 10^8\) m/s）
電磁場の方程式におけるアンペール＝マクスウェルの法則
\[
\partial_\mu F^{\mu\vartheta} = \mu_0 J^{\vartheta}
\]
記号 意味 \(\partial_\mu\) 4次元時空における偏微分演算子 \(F^{\mu\vartheta}\) 電磁場テンソル（電場と磁場を統一的に表現） \(\mu_0\) 真空の透磁率（\(≈ 4π×10⁻⁷\) H/m） \(J^{\vartheta}\) 4元電流（電荷密度と電流密度の統合）
A.I. (ChatGPT) による物理・数式の提案
QED — quantum electrodynamics（U(1)）の極小結合ミニマル
\[
\boxed{\ \mathcal{L}_{\text{QED}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\ }
\quad
\begin{aligned}
D_\mu &= \partial_\mu + i q A_\mu,\\
F_{\mu\nu} &= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.
\end{aligned}
\]
ヤン–ミルズ（非可換ゲージ）の極小核
\[
\boxed{\ F_{\mu\nu} = \frac{i}{g}[D_\mu, D_\nu] \ }
\qquad
D_\mu = \partial_\mu - i g\, T^a A^a_\mu
\]
電弱統一と自発的対称性の破れ
\[
\boxed{\ SU(2)_L \times U(1)_Y \ \xrightarrow{\ \langle H\rangle = v/\sqrt{2}\ }\ U(1)_{\text{em}} \ }
\]
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L} &\supset |D_\mu H|^2 - \lambda\!\left(H^\dagger H - \tfrac{v^2}{2}\right)^2,\\
m_W &= \tfrac12 g\,v, \qquad
m_Z = \tfrac12 \sqrt{g^2 + g'^2}\,v, \qquad
A_\mu = \sin\theta_W\, W^3_\mu + \cos\theta_W\, B_\mu .
\end{aligned}
\]
ノーターとゲージ電流（連続の式）
\[
\boxed{\ \partial_\mu J^\mu = 0\ }
\qquad
\text{(global phase)}\ \psi \to e^{i\alpha}\psi
\]
ABJアノマリー（量子ゆえの破れ）
\[
\boxed{\ \partial_\mu J_5^{\mu} = \frac{q^2}{16\pi^2}\, F_{\mu\nu}\,\tilde{F}^{\mu\nu}\ }
\qquad
\tilde{F}^{\mu\nu} \!=\! \tfrac12 \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
\]
微分幾何（ファイバーバンドル）
\[
\boxed{\ F = dA + A \wedge A \ }
\qquad
D = d + A
\]
Written by Taiji Yamada at 2024/07/07
これは、我々がいる銀河系に存在する、我々人類とコンタクトする可能性のある「地球外文明の数」の推定を行うための算術的な方程式である。
\[
N = R_* \times f_p \times n_e \times f_l \times f_i \times f_c \times L
\]
