例えば、640/427 = 1 + 213/427 で 213/427 は 0.(498829039812646370023419203747072599531615925058548009367681) のように 60 桁もの循環節 (括弧内) を持つ。
ディスプレイの解像度は、クラシックからモダンに行くにつれ、アスペクト比が 2 以上のシネマディスプレイへと横長のディスプレイへ進歩している。
以下の表の後に「用語集」をさらに添えたので、一応ベンダーがそれぞれ用語を揃えようとしていることはわかるはず (当時ではなく今なら、という用語も含めて) 。
規格 ピクセル数 アスペクト比 (W:H)
half D1 360×480 ≣3:4
LG DualUp Monitor 28MQ780 2880×2560
{Tall CIF} 352×297 ≈11:9
{Tall QCIF} 704×594
{Tall SXGA} 1280×1080
{Tall QQCIF} 1408×1188
{Tall QQQCIF} 2816×2376
{Tall CIF 5K} 5632×4752
{Tall CIF 10K} 11264×9504
qCIF 176×144 ≣11:9
CIF 352×288
{QCIF} 704×576
{QQCIF} 1408×1152
{QQQCIF} 2816×2304
{CIF 5K} 5632×4608
{CIF 10K} 11264×9216
qqqSXGA 160×128 ≣5:4
qqSXGA 320×256
qSXGA 640×512
SD 576i, ED 576p 720×576
SXGA 1280×1024
QSXGA 2560×2048
HSXGA 5120×4096
Macintosh 21" 1152×870 ≈4:3
qqVGA 160×120 ≣4:3
qSIF for PAL 192×144
ColecoVision, ZX Spectrum 256×192
qVGA, Nintendo 3DS, One Seg 320×240
SIF for PAL 384×288
{Nonuple qqVGA} 480×360
VGA, 1987 IBM PS/2 640×480
NTSC (D1) 720×540
SD PAL 768×576
SVGA 800×600
Macintosh 16" 832×624
{Nonuple qVGA} 960×720
XGA, 1987 8514/A 1024×768
XGA+ 1152×864
QVGA, ⟨SXGA-⟩ 1280×960
SXGA+ 1400×1050
Hi Vision 1440×1080
UXGA 1600×1200
{Quinvigintuple SIF for PAL} 1920×1440
QXGA 2048×1536
{Centuple ColecoVision} 2560×1920
QSXGA+ 2800×2100
{Quad Hi Vision} 2880×2160
QUXGA 3200×2400
HXGA 4096×3072
HUXGA 6400×4800
2017 iPad Pro 12.9" 2732×2048 ≈4:3
SIF for NTSC 352×240
⟨WXGA+⟩ 1280×864 ≈3:2
⟨qWXGA+⟩ 640×427 ≈3:2
⟨WXGA+⟩, ⟨WSXGA⟩ 1280×854
hqVGA 240×160 ≣3:2
WqVGA, ⟨SIF for NTSC⟩ 360×240
hVGA 480×320
WVGA, SD 480i, ED 480p 720×480
DVGA 960×640
⟨WXGA⟩ 1152×768
⟨FWXGA+⟩ 1440×960
DXGA 1536×1024
{QDVGA}, 2015 Surface 3 10.8" 1920×1280
FHD+, 2014 Surface Pro 3 12" 2160×1440
2015 Surface Pro 4 12.3" 2736×1824
2015 Surface Book 13.5" 3000×2000
2016 Surface Studio 28" 4500×3000
WSXGA 1600×1024 ≣25:16
WQSXGA 3200×2048
WHSXGA 6400×4096
CGA (4色) 320×200 ≣8:5
WqVGA 384×240
QCGA, ⟨EGA⟩, PC-9801, Macintosh Portable 640×400
⟨WVGA⟩ 768×480
{WXGA-} 1024×640
{XGA+-} 1152×720
⟨WXGA⟩ 1280×800
WXGA+, WSXGA 1440×900
{DXGA-} 1536×960
WSXGA+, 2003 Cinema Display 1680×1050
WUXGA, 2002 Cinema HD Display 1920×1200
{QWXGA-} 2048×1280
{QXGA+-} 2304×1440
WQXGA, 2004 Cinema HD Display 2560×1600
WQXGA+, 2012 Macbook Pro 2880×1800
{QDXGA-} 3072×1920
WQUXGA, ⟨QWUXGA⟩ 3840×2400
{QQWXGA-} 4096×2560
WqVGA 400×240
⟨WVGA⟩ 800×480
⟨WXGA⟩ 1280×768
{qqqWSVGA} 128×75
{qqWSVGA} 256×150
{qWSVGA} 512×300
WSVGA 1024×600
FWqVGA 432×250
⟨WVGA⟩ 848×480 ≈16:9
⟨WXGA⟩, ⟨HD⟩ 1360×768 ≈16:9
⟨nHD⟩ 426×240 ≈16:9
2012 iPhone 1136×640 ≈16:9
{qqWSVGA} 256×144 ≣16:9
Wide One Seg 320×180
{qWSVGA} 512×288
n(F)HD, {qHD} 640×360
q(F)HD, 1K 960×540
⟨WSVGA⟩ 1024×576
HD 720p, WXGA 1280×720
{Nonuple qWSVGA} 1536×864
HD+ 900p 1600×900
FHD 1080p, 2K 1920×1080
QWXGA 2048×1152
(W)QHD 2560×1440
3K 2880×1620
QHD+ 3K 3008×1692
QHD+ 3200×1800
UHD 4K 3840×2160
4K, 2015 iMac Retina 4096×2304
4.5K, 2021 iMac Retina 4480×2520
UHD 5K, 2014 iMac Retina 5120×2880
UHD 6K, XDR, 2019 Pro Display 6016×3384
UHD 8K, DisplayPort 1.3 7680×4320
UHD 16K 15360×8640
UHD 32K 30720×17280
FWXGA, ⟨HD⟩ 1366×768 ≈16:9
FWVGA 854×480 ≈16:9
EGA, 1984 IBM PC AT 640×350
DCI 2K 2048×1080
DCI 4K 4096×2160
⟨FWVGA⟩ 960×480 ≣2:1
{quarter Full Vision QHD} 1440×720
⟨FHD+⟩ 2160×1080
Full Vision QHD 2880×1440
{Quad FHD+} 4320×2160
MDA, 1981 IBM PC 720×350 ≈2:1
HGC, 1981 IBM PC 720×348
(U)WFHD 2560×1080 ≈21:9
WUHD 5K2K 5120×2160 ≈21:9
UHD 10K, HDMI 2.1 10240×4320 ≈21:9
UWQHD 3440×1440 ≈21:9
UWQHD+ 3840×1600
half UHD 4K 3840×1080
DWQHD 5120×1440
h16K, DisplayPort 2.0 15360×4320
⟨小括弧⟩ は名称が他と重複しているもの、{中括弧} は規則通りに命名したものを表す。
Me:
Wikipedia によると ninth HD (nHD) 640×360 という解像度は Full HD 1920×1080 の 9 分の 1 の面積なので ninth Full HD (nFHD) という名称にすべきだと思うのですが、紛らわしくありませんか？ChatGPT:
あなたの指摘は興味深いですね。確かに、640×360 の解像度は 1920×1080 の解像度 (Full HD) の面積の 9 分の 1 です。しかし、「ninth HD (nHD)」という名称は、面積ではなく、解像度のスケールダウンを意味している可能性が高いです。具体的には、フル HD の解像度 (1920×1080) の縦横のサイズをちょうど 3 分の 1 に縮小した解像度が nHD です。「ninth Full HD (nFHD)」という名称にすると、フル HD に関連したものであることが強調されますが、既存の「HD」や「FHD」と混同しやすくなるかもしれません。特に、「ninth FHD」という名前は、単に面積が 9 分の 1 であることを示しているわけではなく、解像度そのものがフル HD と直接関連していると誤解される可能性があります。
したがって、nHD という名称が使われることで、解像度が縦横の縮小を意味していることを強調し、混乱を避けるための配慮かもしれません。しかし、名称が異なる解像度の関連性を明示していないため、紛らわしさが残ることも確かです。技術的な名称や略称は、その定義や用法が業界標準に基づいているため、変えるのは難しいかもしれませんが、ユーザーの混乱を防ぐための工夫が必要になるかもしれません。
Me:
特に解像度の名称では「Full」がついてたり、ついてなくても Full を意味していたり紛らわしいです。一方で Wide とか Quad とか「+」Plus はルール通りなことが多いと思いますがどうでしょうか。ChatGPT:
解像度の名称に関して、確かに「Full」が付いている場合や、付いていなくても Full を意味している場合があり、少し紛らわしいことがあります。例えば、FHD (Full HD) は 1920×1080 の解像度を意味しますが、「Full」という用語が常に一貫して使われているわけではありません。一方で、「Wide」、「Quad」、「Plus」などの用語は、比較的一貫してルールに従って使われる傾向があります。
Wide (W): 通常、従来の 4:3 や 5:4 のアスペクト比から 16:9 や 21:9 のような横長のアスペクト比に広がった解像度を示します。例えば、WXGA (Wide XGA) は 1280×800 で、横幅が広がった XGA (1024×768) を指します。
Quad (Q): 一般的に、ベースとなる解像度の 4 倍のピクセル数を持つ解像度を意味します。例えば、QHD (Quad HD) は、HD (1280×720) の 4 倍のピクセル数を持つ 2560×1440 を指します。
Plus (+): 「Plus」は通常、基本的な解像度に対して追加のピクセル数があることを示しています。FHD+ (Full HD Plus) は、フルHD (1920×1080) よりも縦方向にピクセル数が多い解像度を示します。
これらの用語が比較的一貫して使われているため、混乱を避けるのに役立っています。解像度の名称の慣例は、技術的な背景や歴史的な経緯に基づいているため、理解するのが難しい場合もありますが、「Wide」「Quad」「Plus」などはその目的や特性を反映した命名となっていることが多いですね。
Me:
HD (High-definition) video の規格に 720p と 1080i, 1080p が含まれているから、720p (1280×720) と 1080p (1920×1080) を敢えて区別するときは後者に Full を付けているように思われますが、区別する必要のないときは、後者の Full を省略してしまっているように思われます。ChatGPT:
おっしゃる通り、HD (High-definition) ビデオの規格には 720p、1080i、1080p が含まれていますが、特に 1080p と 720p を区別する必要がある場合にのみ、1080pに「Full」を付けて区別することが一般的です。この区別が必要な理由は、720p と 1080p の両方が HD 規格内に収まるため、両者を明確に区別しないと混乱を招く可能性があるからです。例えば、720p は「HD」と呼ばれ、解像度 1280×720 を持ち、主に従来の HD コンテンツやストリーミングサービスで使用されます。一方、1080p は「Full HD」と呼ばれ、解像度 1920×1080 を持ち、より高い解像度を提供します。
しかし、状況によっては、1080p を単に「HD」と呼ぶこともあります。特に 1080p が標準として認識されている場合、あるいは 720p との混同の可能性が低い場合には、「Full」を省略してしまうことがあります。このようなケースでは、「HD」が 1080p を指していることが文脈から明らかであるため、特に問題にならないことが多いです。
要するに、「Full HD」と「HD」の使い分けは、文脈や意図によって変わり、場合によっては「Full」を省略しても問題ない状況もあります。これは技術的な用語の簡略化や、ユーザーの認識に基づいて行われることが多いです。
Me:
WXGA は XGA 1024×768 の Wide なので、ルール的には高さは変えずに 1152×768 や 1280×768 を指すべきだと思われますが、おっしゃる通り 1280×800 を指すことが多いですね。私の知識では 1280×720 (=HD 720p) も WXGA と呼ばれることがあると思います。そういう意味では XGA に関しては Wide もルール通りではないと思っています。ChatGPT:
おっしゃる通り、WXGA の名称に関しては、XGA (1024×768) の「Wide (ワイド)」版という意味で使用されていますが、ルール的には高さを維持して横方向に広げるべきところが、実際には異なる解像度が含まれていることが多いです。例えば、1280×800 は WXGA と呼ばれることが一般的ですが、これは XGA の高さ (768 ピクセル) を変えてしまっています。また、1280×720 (HD 720p) も WXGA と呼ばれることがあります。これらの命名に関しては、業界の慣習や歴史的な経緯が影響しているため、必ずしも一貫したルールに従っているわけではないことが原因です。特に、WXGA のような用語は複数の解像度を包括するため、技術的に正確でない場合もあります。
こうした命名の一貫性の欠如は混乱を招く可能性があるため、特にディスプレイやモニターを選ぶ際には、解像度の具体的な数値を確認することが重要です。あなたが指摘するように、解像度の名称には一貫性がない場合があるため、文脈や仕様をしっかりと確認することが大切です。
Me:
Wikipedia によると、1280×854 は WXGA+ の一種らしく、同じく WXGA+ として 1280×854 もあるようです。WXGA+ には他に 1440×900 もあるらしいのですが。ChatGPT:
おっしゃる通り、1280×864 や 1280×854 は、WXGA+の一種として分類されることがあります。WXGA+ は、WXGA (1280×800) からの拡張版として使用されることが多く、いくつかの異なる解像度が含まれています。WXGA+ は一般的に横幅を拡張した解像度を指しますが、具体的な解像度にはいくつかのバリエーションがあります。WXGA+の解像度例:
- 1280×864:
- この解像度は、アスペクト比が 4:3 に近く、WXGA の高さを維持しつつ横方向にピクセル数を増やしたものとして分類されることがあります。
- 1280×854:
- アスペクト比が約 15:10 (3:2 に近い) で、これも WXGA+ の一部として扱われることがあります。こちらは、さらに少し背が低いバージョンの WXGA+ と考えられます。
- 1440×900:
- これは WXGA+ の中でも非常に一般的な解像度で、アスペクト比が 16:10 です。ノートパソコンや一部のデスクトップモニターで広く使用されました。
これらの解像度は、WXGA+の「+」が示す通り、基本的なWXGAよりもピクセル数が増加した上位版の解像度として扱われます。しかし、WXGA+という名称自体が厳密な規格を指すわけではなく、メーカーやデバイスによって解釈が異なることがあります。そのため、WXGA+として分類される解像度にいくつかのバリエーションが存在するのは、この命名が柔軟に使用されているためです。
本稿ではアスペクト比としたが、ピクセルが正方形ではないこともあるので、正確にはピクセル比である。代表的なピクセル比は以下の通り。
規格 ピクセル数 アスペクト比 (W:H) 備考 CIF 352×288 11:9 SXGA 1280×1024 5:4 VGA 640×480 4:3 1987 IBM PS/2 WXGA+ 1280×854 640:427 (≈3:2) 480p, WVGA 720×480 3:2 WSXGA 1600×1024 25:16 CGA 320×200 8:5 1981 IBM PC, 1983 IBM PC XT WVGA 800×480 5:3 WSVGA 1024×600 128:75 FWqVGA 432×250 216:125 HD 1360×768 85:48 HD 720p 1280×720 16:9 EGA 640×350 1984 IBM PC AT Full Vision QHD 2880×1440 2:1 MDA 720×350 1981 IBM PC HGC 720×348 1981 IBM PC UHD 10K 10240×4320 64:27 UWQHD 3440×1440 43:18 UWQHD+ 3840×1600 12:5 DWQHD 5120×1440 32:9
以下に各種デバイスのディスプレイの解像度について、高さ対ピクセル比の表を示す。
ここで右上の、「＞」ボタンを押すと本ページすべての解像度、「＜」ボタンを押すと主な解像度に限る。
| ピクセル比 (W:H) |
|---|
| 高さ\ピクセル比 (W/H) |
iPad のディスプレイの解像度 (但し、機器の向きはランドスケイプとする) は、当初の 1024×768 (4:3) の VGA 系から始まり、≈4:3 ≒VGA 系を経る。但し、≈3:2 ≒480p 系が iPad mini6 で採用されている。
機種名 発売年 インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) CSS 比 CSS ピクセル数 ハードウェア名 first iPadOS last iPadOS iPadOS14 iPadOS15 iPadOS16 iPadOS17 iPad 2010/04/01 9.7 1024×768 4:3 1 1024×768 iPad1,1 iOS 3.2 iOS 5.1.1 VGA 系 iPad 2 2011/03/01 9.7 1024×768 4:3 1 1024×768 iPad2,[1-4] iOS 4.3 iOS 9.3.5 iPad mini 2012/11/01 7.9 1024×768 4:3 1 1024×768 iPad2,[5-7] iOS 6 iOS 9.3.6 iPad 3rd Gen 2012/03/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad3,[1-3] iOS 5.1 iOS 9.3.5 iPad 4th Gen 2012/11/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad3,[4-6] iOS 6 iOS 10.3.3 iPad Air 2013/11/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad4,[1-3] iOS 7.3 iOS 12.5.5 iPad mini 2 2013/11/01 7.9 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad4,[4-6] iOS 7.3 iOS 12.5.5 iPad Air 2 2014/10/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad5,[34] iOS 8.1 iPadOS 15 ✔︎ ✔︎ iPad mini 3 2014/10/01 7.9 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad4,[7-9] iOS 8.1 iOS 12.5.5 iPad mini 4 2015/09/01 7.9 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad5,[12] iOS 9 iPadOS 15 ✔︎ ✔︎ iPad Pro 9.7" 2016/03/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad6,[34] iOS 9.3 iPadOS 15 ✔︎ ✔︎ iPad 5th Gen 2017/03/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad6,1[12] iOS 10.2 iPadOS 15 ✔︎ ✔︎ iPad 6th Gen 2018/03/01 9.7 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad7,[56] iOS 11.3 iPadOS 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad mini 5 2019/03/01 7.9 2048×1536 4:3 2 1024×768 iPad11,[12] iOS 12.2 iPadOS 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad 7th Gen 2019/09/01 10.2 2160×1620 4:3 2 1080×810 iPad7,1[12] iPadOS 13 iPadOS 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad 8th Gen 2020/09/01 10.2 2160×1620 4:3 2 1080×810 iPad11,[67] iPadOS 14 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad 9th Gen 2021/09/01 10.2 2160×1620 4:3 2 1080×810 iPad12,[12] iPadOS 15 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 10.5" 2017/06/05 10.5 2224×1668 4:3 2 1112×834 iPad7,[34] iOS 10.3.2 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Air 3rd Gen 2019/03/01 10.5 2224×1668 4:3 2 1112×834 iPad11,[34] iOS 12.2 iPadOS 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad mini 6 2021/09/01 8.3 2266×1488 ≈3:2 (=1.5:1) 2 1133×744 iPad14,1 iPadOS 15 iPadOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ ≈480p 系 iPad Air 4 2020/10/01 10.86 2360×1640 ≈4.1:3 2 1180×820 iPad13,[12] iPadOS 14.1 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad 10th Gen 2022/10/18 10.9 2360×1640 ≈4.1:3 2 1180×820 iPad13,1[89] iPadOS 16 iPadOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPad Air 5th Gen 2022/03/01 10.9 2360×1640 ≈4.1:3 2 1180×820 iPad13,1[67] iPadOS 16 iPadOS 17 ✔︎ iPad Pro 11" 2018/11/01 11 2388×1668 ≈4.1:3 2 1194×834 iPad8,[1-5] iOS 12.1 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 11" 2nd Gen 2020/03/18 11 2388×1668 ≈4.1:3 2 1194×834 iPad8,9 iPadOS 13.4 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 11" 3rd Gen 2021/04/20 11 2388×1668 ≈4.1:3 2 1194×834 iPad13,4 iPadOS 14.5 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 11" 4th Gen 2022/10/18 11 2388×1668 ≈4.1:3 2 1194×834 iPad14,3 iPadOS 16.1 iPadOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPad Pro 12.9" 2015/09/09 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad6,[78] iOS 9.1 iPadOS 16 ✔︎ ✔︎ ≈4:3 ≒VGA 系 iPad Pro 12.9" 2nd Gen 2017/06/05 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad7,[12] iOS 10.3.2 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 12.9" 3rd Gen 2018/11/01 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad8,[5-8] iOS 12.1 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 12.9" 4th Gen 2020/03/18 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad8,1[12] iPadOS 13.4 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 12.9" 5th Gen 2021/04/20 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad13,[89] iPadOS 14.5 iPadOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPad Pro 12.9" 6th Gen 2022/10/01 12.9 2732×2048 ≈4:3 2 1366×1024 iPad14,[5-7] iPadOS 16.1 iPadOS 17 - - ✔︎ ✔︎
iPhone のディスプレイの解像度は、当初の 480×320, 960×640 (=3:2) の ≈480p 系から始まり、≈1080p 系, 1080p 系 を経て、≈19:9.5 に進化しているようだ。
機種名 発売年 インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) CSS 比 CSS ピクセル数 ハードウェア名 first iOS last iOS iOS14 iOS15 iOS16 iPhone 初代 2007/06/29 3.5 480×320 3:2 1 480×320 iPhone1,1 iPhoneOS 1 iPhoneOS 3.1.3 × × × × ≈480p 系 iPhone 3G 2008/07/11 3.5 480×320 3:2 1 480×320 iPhone1,2 iPhoneOS 2 iOS 4.2.1 × × × × iPhone 3GS 2009/06/19 3.5 480×320 3:2 1 480×320 iPhone2,1 iPhoneOS 3 iOS 6.1.6 × × × × iPhone 4 2010/06/24 3.5 960×640 3:2 2 480×320 iPhone3,1 iOS 4 iOS 7.1.2 × × × × iPhone 5 2012/09/21 4 1136×640 ≈16:9 2 568×320 iPhone5,1 iOS 6 iOS 10.3.4 × × × × ≈1080p 系 iPhone 5c 2013/09/20 4 1136×640 ≈16:9 2 568×320 iPhone5,3 iOS 7 iOS 10.3.4 × × × × iPhone 5s 2013/09/20 4 1136×640 ≈16:9 2 568×320 iPhone6,1 iOS 7 iOS 12.5.7 × × × × iPhone SE 2016/03/31 4 1136×640 ≈16:9 2 568×320 iPhone8,4 iOS 9.3 iOS 15.7 ✔︎ ✔︎ × × iPhone 6 2014/09/19 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone7,2 iOS 8 iOS 12.5.7 × × × × iPhone 6s 2015/09/25 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone8,1 iOS 9 iOS 15.7 ✔︎ ✔︎ × × iPhone 7 2016/09/16 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone9,1 iOS 10 iOS 15.7 ✔︎ ✔︎ × × iPhone 8 2017/09/22 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone10,1 iOS 11 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone SE (2nd Gen) 2020/04/24 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone12,8 iOS 13.4 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone SE (3rd Gen) 2022/03/18 4.7 1334×750 ≈16:9 2 667×375 iPhone14,6 iOS 15.4 iOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone XR 2018/10/26 6.1 1792×828 ≈19.5:9 2 896×414 iPhone11,8 iOS 12 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 11 2019/09/20 6.1 1792×828 ≈19.5:9 2 896×414 iPhone12,1 iOS 13 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 6 Plus 2014/09/09 5.5 1920×1080 16:9 ≈2.61 736×414 iPhone7,1 iOS 8 iOS 12.5.7 × × × × 1080p 系 iPhone 6s Plus 2015/09/25 5.5 1920×1080 16:9 ≈2.61 736×414 iPhone8,2 iOS 9 iOS 15.7 ✔︎ ✔︎ × × iPhone 7 Plus 2016/09/07 5.5 1920×1080 16:9 3 736×414 iPhone9,2 iOS 10 iOS 15.7 ✔︎ ✔︎ × × iPhone 8 Plus 2017/09/12 5.5 1920×1080 16:9 3 736×414 iPhone10,2 iOS 11 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 12 mini 2020/11/13 5.4 2340×1080 ≈19.5:9 3 780×360 iPhone13,1 iOS 14.1 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 13 mini 2021/09/24 5.4 2340×1080 ≈19.5:9 3 780×360 iPhone14,4 iOS 15 iOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone X 2017/11/03 5.8 2436×1125 ≈19.5:9 3 812×375 iPhone10,3 iOS 11.0.1 iOS 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ × iPhone XS 2018/09/21 5.8 2436×1125 ≈19.5:9 3 812×375 iPhone11,2 iOS 12 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 11 Pro 2019/09/20 5.8 2436×1125 ≈19.5:9 3 812×375 iPhone12,3 iOS 13 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 12 2020/10/23 6.1 2532×1170 ≈19.5:9 3 844×390 iPhone13,2 iOS 14.1 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 12 Pro 2020/10/23 6.1 2532×1170 ≈19.5:9 3 844×390 iPhone13,3 iOS 14.1 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 13 2021/09/24 6.1 2532×1170 ≈19.5:9 3 844×390 iPhone14,5 iOS 15 iOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 13 Pro 2021/09/24 6.1 2532×1170 ≈19.5:9 3 844×390 iPhone14,2 iOS 15 iOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 14 2022/09/16 6.1 2532×1170 ≈19.5:9 3 844×390 iPhone14,7 iOS 16 iOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPhone 14 Pro 2022/09/16 6.1 2556×1179 ≈19.5:9 3 852×393 iPhone15,2 iOS 16 iOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPhone 15 2023/09/22 6.1 2556×1179 ≈19.5:9 3 852×393 iPhone15,6 iOS 17 iOS 17 - - - ✔︎ iPhone 15 Pro 2023/09/22 6.1 2556×1179 ≈19.5:9 3 852×393 iPhone15,7 iOS 17 iOS 17 - - - ✔︎ iPhone XS Max 2018/09/21 6.5 2688×1242 ≈19.5:9 3 896×414 iPhone11,6 iOS 12 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 11 Pro Max 2019/09/20 6.5 2688×1242 ≈19.5:9 3 896×414 iPhone12,5 iOS 13 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 12 Pro Max 2020/11/13 6.7 2778×1284 ≈19.5:9 3 926×428 iPhone13,4 iOS 14.1 iOS 17 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 13 Pro Max 2021/09/24 6.7 2778×1284 ≈19.5:9 3 926×428 iPhone14,3 iOS 15 iOS 17 - ✔︎ ✔︎ ✔︎ iPhone 14 Plus 2022/10/07 6.7 2778×1284 ≈19.5:9 3 926×428 iPhone14,8 iOS 16 iOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPhone 14 Pro Max 2022/09/16 6.7 2796×1290 ≈19.5:9 3 932×430 iPhone15,3 iOS 16 iOS 17 - - ✔︎ ✔︎ iPhone 15 Plus 2023/09/22 6.7 2796×1290 ≈19.5:9 3 932×430 iPhone15,4 iOS 17 iOS 17 - - - ✔︎ iPhone 15 Pro Max 2023/09/22 6.7 2796×1290 ≈19.5:9 3 932×430 iPhone15,5 iOS 17 iOS 17 - - - ✔︎
以降、Android の機種のデータの正確性については、確認作業中です。
Android Pixel のディスプレイの解像度は、当初の 480×320, 960×640 (=3:2) の ≈480p 系から始まり、≈1080p 系, 1080p 系 を経て、≈19:9.5 に進化しているようだ。
機種 発売年 QELD インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) first OS last OS A.OS11 A.OS12 A.OS13 A.OS14 Pixel 2016/10/20 5 1920×1080 16:9 Android 7.1 Android 10 Pixel XL 2016/10/20 5.5 2560×1440 16:9 Android 7.1 Android 10 Pixel 2 2017/10/19 ✔︎ 5 1920×1080 16:9 Android 8 Android 11 ✔︎ Pixel 2 XL 2017/10/19 ✔︎ 6 2880×1440 18:9 Android 8 Android 11 ✔︎ Pixel 3 2018/10/18 ✔︎ 5.5 2160×1080 18:9 Android 9 Android 12 ✔︎ ✔︎ Pixel 3 XL 2018/10/18 ✔︎ 6.3 2960×1440 18.5:9 Android 9 Android 12 ✔︎ ✔︎ Pixel 3a 2019/05/15 5.6 2220×1080 18.5:9 Android 9 Android 12 ✔︎ ✔︎ Pixel 3a XL 2019/05/15 6 2160×1080 18:9 Android 9 Android 12 ✔︎ ✔︎ Pixel 4 2019/10/24 ✔︎ 5.7 2280×1080 19:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 4 XL 2019/10/24 ✔︎ 6.3 3040×1440 19:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 4a 2020/08/20 5.8 2340×1080 19.5:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 4a 5G 2020/11/05 6.2 2340×1080 19.5:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 5 2020/10/15 ✔︎ 6 2340×1080 19.5:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 5a 2021/08/26 ✔︎ 6.34 2400×1080 20:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 6 2021/10/28 ✔︎ 6.4 2400×1080 20:9 Android 12 † ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 6 Pro 2021/10/28 ✔︎ 6.71 3120×1440 19.5:9 Android 12 † ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 6a 2022/07/21 ✔︎ 6.1 2400×1080 20:9 Android 12 † ✔︎ ✔︎ ✔︎ Pixel 7 2022/10/13 ✔︎ 6.3 2400×1080 20:9 Android 13 † ✔︎ ✔︎ Pixel 7 Pro 2022/10/13 ✔︎ 6.7 3120×1440 19.5:9 Android 13 † ✔︎ ✔︎ Pixel 7a 2023/05/11 ✔︎ 6.1 2400×1080 20:9 Android 13 † ✔︎ ✔︎ Pixel 8 2023/10/12 ✔︎ 6.2 2400×1080 20:9 Android 14 † ✔︎ Pixel 8 Pro 2023/10/12 ✔︎ 6.7 2992×1344 ≈9:20 Android 14 † ✔︎
Android Galaxy のディスプレイの解像度は、当初の 480×320, 960×640 (=3:2) の ≈480p 系から始まり、≈1080p 系, 1080p 系 を経て、≈19:9.5 に進化しているようだ。
機種 発売年 QELD インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) first OS last OS A.OS11 A.OS12 A.OS13 A.OS14 Galaxy S 2010/06/04 ✔︎ 4 800×480 5:3 Android 2.1 Android 2.3 Galaxy S II 2011/04/29 ✔︎ 4.3 800×480 5:3 Android 2.3 Android 4.1 Galaxy S III 2012/05/29 ✔︎ 4.8 1280×720 16:9 Android 4 Android 4.3 Galaxy S4 2013/04/27 ✔︎ 5 1920×1080 16:9 Android 4.2 Android 5 Galaxy S5 2014/04/11 ✔︎ 5.1 1920×1080 16:9 Android 4.4 Android 6 Galaxy S6 2015/04/10 ✔︎ 5.1 2560×1440 16:9 Android 5 Android 7 Galaxy S7 2016/03/11 ✔︎ 5.1 2560×1440 16:9 Android 6 Android 8 Galaxy S8 2017/04/21 ✔︎ 5.8 2960×1440 18.5:9 Android 7 Android 9 Galaxy S9 2018/03/16 ✔︎ 5.8 2960×1440 18.5:9 Android 8 Android 10 Galaxy S10 2019/03/08 ✔︎ 6.1 3040×1440 19:9 Android 9 Android 12 ✔︎ ✔︎ Galaxy S20 2020/03/06 ✔︎ 6.2 3200×1440 20:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy S21 2021/01/29 ✔︎ 6.2 2400×1080 20:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy S22 2022/02/25 ✔︎ 6.1 2340×1080 19.5:9 Android 12 Android 15 ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy S23 2023/02/17 ✔︎ 6.1 2340×1080 19.5:9 Android 13 Android 16 ✔︎ ✔︎
Android Galaxy のディスプレイの解像度は、当初の 480×320, 960×640 (=3:2) の ≈480p 系から始まり、≈1080p 系, 1080p 系 を経て、≈19:9.5 に進化しているようだ。
機種 発売年 QELD インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) first OS last OS A.OS11 A.OS12 A.OS13 A.OS14 Galaxy A3 2015/01/01 なし 4.5 960×540 16:9 Android 4.4.4 Android 6.0.1 × × × × Galaxy A5 2015/01/01 なし 5.0 1280×720 16:9 Android 4.4.4 Android 6.0.1 × × × × Galaxy A7 2015/02/01 なし 5.5 1920×1080 16:9 Android 4.4.4 Android 6.0.1 × × × × Galaxy A3 2016/12/01 ✔︎ 4.7 1280×720 16:9 Android 5.1.1 Android 7.0 × × × × Galaxy A5 2016/12/01 ✔︎ 5.2 1920×1080 16:9 Android 5.1.1 Android 7.0 × × × × Galaxy A7 2016/12/01 ✔︎ 5.5 1920×1080 16:9 Android 5.1.1 Android 7.0 × × × × Galaxy A3 2017/01/01 ✔︎ 4.7 1280×720 16:9 Android 6.0.1 Android 8.0 × × × × Galaxy A5 2017/01/01 ✔︎ 5.2 1920×1080 16:9 Android 6.0.1 Android 8.0 × × × × Galaxy A7 2017/01/01 ✔︎ 5.7 1920×1080 16:9 Android 6.0.1 Android 8.0 × × × × Galaxy A8 2018/01/01 ✔︎ 5.6 2220×1080 18.5:9 Android 7.1.1 Android 9.0 × × × × Galaxy A8+ 2018/01/01 ✔︎ 6.0 2220×1080 18.5:9 Android 7.1.1 Android 9.0 × × × × Galaxy A50 2019/03/01 ✔︎ 6.4 2340×1080 19.5:9 Android 9.0 Android 11 ✔︎ × × × Galaxy A70 2019/03/01 ✔︎ 6.7 2400×1080 20:9 Android 9.0 Android 11 ✔︎ × × × Galaxy A51 2019/12/01 ✔︎ 6.5 2400×1080 20:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ × Galaxy A71 2020/01/01 ✔︎ 6.7 2400×1080 20:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ × Galaxy A52 2021/03/01 ✔︎ 6.5 2400×1080 20:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy A72 2021/03/01 ✔︎ 6.7 2400×1080 20:9 Android 11 Android 14 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy A53 2022/03/01 ✔︎ 6.5 2400×1080 20:9 Android 12 Android 15 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy A73 2022/03/01 ✔︎ 6.7 2400×1080 20:9 Android 12 Android 15 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy A54 2023/03/01 ✔︎ 6.4 2340×1080 19.5:9 Android 13 Android 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎ Galaxy A34 2023/03/01 ✔︎ 6.6 2340×1080 19.5:9 Android 13 Android 16 ✔︎ ✔︎ ✔︎ ✔︎
Android Galaxy のディスプレイの解像度は、当初の 480×320, 960×640 (=3:2) の ≈480p 系から始まり、≈1080p 系, 1080p 系 を経て、≈19:9.5 に進化しているようだ。
機種 発売年 QELD インチ ピクセル数 アスペクト比 (H:W) first OS last OS A.OS11 A.OS12 A.OS13 A.OS14 Galaxy Note 2011/10/01 ✔︎ 5.3 1280×800 16:10 Android 2.3 Android 4.1.2 × × × × Galaxy Note II 2012/09/01 ✔︎ 5.5 1280×720 16:9 Android 4.1 Android 4.4.2 × × × × Galaxy Note 3 2013/09/01 ✔︎ 5.7 1920×1080 16:9 Android 4.3 Android 5.0 × × × × Galaxy Note 4 2014/10/01 ✔︎ 5.7 2560×1440 16:9 Android 4.4 Android 6.0 × × × × Galaxy Note 5 2015/08/01 ✔︎ 5.7 2560×1440 16:9 Android 5.1 Android 7.0 × × × × Galaxy Note 7 2016/08/01 ✔︎ 5.7 2560×1440 16:9 Android 6.0 リコール × × × × Galaxy Note 8 2017/09/01 ✔︎ 6.3 2960×1440 18.5:9 Android 7.1 Android 9.0 × × × × Galaxy Note 9 2018/08/01 ✔︎ 6.4 2960×1440 18.5:9 Android 8.1 Android 10 × × × × Galaxy Note 10 2019/08/01 ✔︎ 6.3 2280×1080 19:9 Android 9.0 Android 12 ✔︎ ✔︎ × × Galaxy Note 10+ 2019/08/01 ✔︎ 6.8 3040×1440 19:9 Android 9.0 Android 12 ✔︎ ✔︎ × × Galaxy Note 20 2020/08/01 ✔︎ 6.7 2400×1080 20:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ × Galaxy Note 20 Ultra 2020/08/01 ✔︎ 6.9 3200×1440 20:9 Android 10 Android 13 ✔︎ ✔︎ ✔︎ × Galaxy Feel 2017/06/01 ✔︎ 4.7 1280×720 16:9 Android 7.0 Android 8.0 × × × × Galaxy Feel2 2018/11/01 ✔︎ 5.6 2220×1080 18.5:9 Android 8.0 Android 10 × × × ×
iMac のディスプレイの解像度は、8:5 と 16:9 に見事に統一されているようだ。
機種 モデル ピクセル数 Model - EMC order 2006 Early iMac 17" iMac4,1 1440×900 A1173 - 2104 MA199LL 2006 Early iMac 20" iMac4,1 1680×1050 A1174 - 2105 MA200LL 2006 Mid iMac 17" iMac4,2 1440×900 A1195 - 2110 MA406LL/A 2006 Late iMac 17" CD iMac5,2 1440×900 A1195 - 2124 MA710LL 2006 Late iMac 17" iMac5,1 1440×900 A1208 - 2114 MA590LL 2006 Late iMac 20" iMac5,1 1680×1050 A1207 - 2118 BTO/CTO 2006 Late iMac 24" iMac6,1 1920×1200 A1200 - 2111 BTO/CTO 2007 Mid iMac 20" iMac7,1 1680×1050 A1224 - 2133 MA877LL 2007 Mid iMac 24" iMac7,1 1920×1200 A1225 - 2134 BTO/CTO 2008 Early iMac 20" iMac8,1 1680×1050 A1225 - 2211 MB398LL/A 2008 Early iMac 24" iMac8,1 1920×1200 A1225 - 2211 MB398LL/A 2009 Early iMac 20" iMac9,1 1680×1050 A1224 - 2266 MB417LL/A 2009 Early iMac 24" iMac9,1 1920×1200 A1225 - 2267 MB418LL/A 2009 Late iMac 21.5" iMac10,1 1920×1080 A1311 - 2308 BTO/CTO 2009 Late iMac 27" iMac10,1 2560×1440 A1312 - 2309 BTO/CTO 2010 Mid iMac 21.5" iMac11,2 1920×1080 A1311 - 2389 BTO/CTO 2010 Mid iMac 27" iMac11,3 2560×1440 A1312 - 2390 MC784LL/A 2011 Mid iMac 21.5" iMac12,1 1920×1080 A1311 - 2428 BTO/CTO 2011 Mid iMac 27" iMac12,2 2560×1440 A1312 - 2429 MD063LL/A 2011 Late iMac 21.5" iMac12.1 1920×1080 A1311 - 2496 MC978LL/A 2012 Late iMac 21.5" iMac13,1 1920×1080 A1418 - 2544 MD093LL/A 2012 Late iMac 27" iMac13,2 2560×1440 A1419 - 2546 BTO/CTO 2013 Early iMac 21.5" iMac13,1 1920×1080 A1418 - 2544 MD093LL/A 2013 Late iMac 21.5" iMac14,3 1920×1080 A1418 - 2742 BTO/CTO 2013 Late iMac 27" iMac14,2 2560×1440 A1419 - 2639 ME088LL/A 2014 Mid iMac 21.5" iMac14,4 1920×1080 A1418 - 2805 MF883LL/A 2014 Late iMac 27" 5K iMac15,1 5120×2880 A1419 - 2806 BTO/CTO 2015 Mid iMac 27" 5K iMac15,1 5120×2880 A1419 - 2806 MF885LL/A 2015 Late iMac 21.5" iMac16,2 1920×1080 A1418 - 2889 MK442LL/A 2015 Late iMac 21.5" 4K iMac16,2 4096×2304 A1418 - 2833 BTO/CTO 2015 Late iMac 27" 5K iMac17,1 5120×2880 A1419 - 2834 BTO/CTO 2017 iMac 21.5" iMac18,1 1920×1080 A1418 - 3068 MMQA2LL/A 2017 iMac 21.5" 4K iMac18,2 4096×2304 A1418 - 3069 BTO/CTO 2017 Mid iMac 27" 5K iMac18,3 5120×2880 A1419 - 3070 BTO/CTO 2017 Late iMac 27" 5K iMacPro1,1 5120×2880 A1862 - 3144 MQ2Y2LL/A 2019 iMac 21.5" iMac19,2 4096×2304 A2116 - 3195 MRT32LL/A 2019 iMac 27" iMac19,1 5120×2880 A2115 - 3194 MRR12LL/A 2020 iMac 27" iMac20,1 5120×2880 A2115 - 3442 MXWV2LL/A 2020 iMac 27" 5700/XT iMac20,2 5120×2880 A2115 - 3442 BTO/CTO 2021 iMac 24" 2 ports iMac21,2 4480×2520 A2439 - 3664 MJV93LL/A 2021 iMac 24" 4 ports iMac21,1 4480×2520 A2438 - 3663 MGPK3LL/A 2023 iMac 24" 2 ports Mac15,4 4480×2520 A2874 - 8207 MQRC3LL/A 2023 iMac 24" 4 ports Mac15,5 4480×2520 A2873 - 8206 MQRQ3LL/A
Apple のディスプレイの解像度は、4:3 から始まり、8:5 とその近似や 16:9 に見事に統一されているようだ。
機種 年代 インチ DPI ピクセル数 アスペクト比 Studio Display LCD ADC 17" 2001 17 96 1280×1024 5:4 Studio Display CRT / LCD 15" 1998 15 85 1024×768 4:3 Studio Display CRT / LCD 17" 1998 17 75 1024×768 4:3 Studio Display CRT / LCD 21" 1998 21 61 1024×768 4:3 Studio Display LCD Blueberry 15" 1999 15 85 1024×768 4:3 Studio Display LCD Graphite 15" 1999 15 85 1024×768 4:3 Studio Display CRT Blueberry 17" 1999 17 118 1600×1200 4:3 Studio Display CRT Graphite 17" 1999 17 118 1600×1200 4:3 Studio Display CRT Graphite 21" 1999 21 95 1600×1200 4:3 Studio Display CRT Blueberry 21" 1999 21 95 1600×1200 4:3 Studio Display CRT Blueberry 21" 1999 21 95 1600×1200 4:3 Studio Display CRT ADC 17" 2000 17 118 1600×1200 4:3 Studio Display LCD ADC 15" 2000 15 85 1024×768 4:3 Cinema Display 22" 1999 22 86 1600×1024 ≈8:5 Cinema Display LCD ADC 22" 2000 22 86 1600×1024 ≈8:5 Cinema Display 20" 2004 20 95 1600×1024 ≈8:5 Cinema Display 22" 2004 22 86 1600×1024 ≈8:5 Cinema HD Display 23" 2002 23 98 1920×1200 8:5 Cinema Display 20" 2003 20 99 1680×1050 8:5 Cinema HD Display 22" 2003 22 90 1680×1050 8:5 Cinema Display Aluminum 20" 2004 20 99 1680×1050 8:5 Cinema Display Aluminum 23" 2004 23 98 1920×1200 8:5 Cinema Display Aluminum 30" 2004 30 101 2560×1600 8:5 Cinema Display 20" 2008 20 99 1680×1050 8:5 Cinema Display 23" 2008 23 98 1920×1200 8:5 Cinema HD Display 30" 2010 30 101 2560×1600 8:5 LED Cinema Display 24" 2008 24 94 1920×1200 8:5 LED Cinema Display 27" 2010 27 109 2560×1440 16:9 Thunderbolt Display 27" 2011 27 109 2560×1440 16:9 LG UltraFine 5K Display 27" 2016 27 218 5120×2880 16:9 Pro Display XDR 32" 2019 32 216 6016×3384 16:9 Studio Display 5K Retina 27" 2022 27 218 5120×2880 16:9
ゲームコンソールのディスプレイの解像度は基本的に TV 画面向けなので、SD, HD, FHD, UHD 4K, 8K へと進化している。
機種 発売日 ピクセル数 (W:H) アスペクト比 ■ 1st Gen (1972年〜) Magnavox Odyssey 1972/09/01 160×200 ■ 2nd Gen (1977年〜) Atari 2600 1977/09/11 160×192 Mattel Intellivision 1979/12/03 159×96 ≈5:3 Sinclair Research ZX Spectrum 1982/04/23 256×192 Coleco ColecoVision 1982/08/05 256×192 ■ 3ed Gen (1983年〜) Nintendo Family Computer (NES) 1983/07/15 256×240 Sega Master System 1985/10/20 256×192 Atari 7800 1986/05/01 320×240 ■ 4th Gen (1988年〜) Sega Genesis/Mega Drive 1988/10/29 320×224 Nintendo Super Family Computer (SNES) 1990/11/21 256×224 512×448 ■ 5th Gen (1994年〜) Sega Saturn 1994/11/22 320×224 640×448 Sony PlayStation 1994/12/03 256×224 320×240 640×480 Nintendo 64 1996/06/23 320×240 640×480 ■ 6th Gen (1998年〜) Sega Dreamcast 1998/11/27 640×480 Sony PlayStation 2 2000/03/04 640×448 1280×720 Nintendo GameCube 2001/09/14 640×480 Microsoft Xbox 2001/11/15 640×480 1280×720 1920×1080 ■ 7th Gen (2005年〜) Microsoft Xbox 360 2005/11/22 1280×720 1920×1080 Sony PlayStation 3 2006/11/11 1280×720 1920×1080 Nintendo Wii 2006/11/19 640×480 ■ 8th Gen (2012年〜) Nintendo Wii U 2012/11/18 1280×720 1920×1080 Sony PlayStation 4 2013/11/15 1920×1080 3840×2160 Microsoft Xbox One 2013/11/22 1920×1080 3840×2160 ■ 9th Gen (2017年〜) Sony PlayStation 5 2020/11/12 1920×1080 3840×2160 7680×4320 Microsoft Xbox Series S 2020/11/10 2560×1440 3840×2160 Microsoft Xbox Series X 2020/11/10 1920×1080 3840×2160 7680×4320 Nintendo Switch 2017/03/03 1280×720 1920×1080 Nintendo Switch Lite 2019/09/20 1280×720 1920×1080 Nintendo Switch OLED Model 2021/10/08 1280×720 1920×1080
携帯ゲーム機のディスプレイの解像度は、10:9, 4:3, 3:2, 16:9 が代表的で 30:17 (≈10:9) を SONY が採用している。
機種 発売日 ピクセル数 (W:H Nintendo Game Boy 1989/04/21 160×144 Nintendo Game Boy Color 1998/10/21 160×144 Nintendo Game Boy Advance 2001/03/21 240×160 Nintendo DS 両画面 2004/12/02 256×192 Nintendo DSi 両画面 2008/11/01 256×192 Nintendo 3DS 上画面 2011/02/26 800×240 Nintendo 3DS 上画面 (3D) 400×240 Nintendo 3DS 下画面 320×240 Nintendo 3DS LL 上画面 2012/07/28 800×240 Nintendo 3DS LL 上画面 (3D) 400×240 Nintendo 3DS LL 下画面 320×240 Nintendo 2DS 上画面 2013/10/12 400×240 Nintendo 2DS 下画面 320×240 New Nintendo 3DS 上画面 2014/10/11 800×240 New Nintendo 3DS 上画面 (3D) 400×240 New Nintendo 3DS 下画面 320×240 New Nintendo 3DS LL 上画面 2014/10/11 800×240 New Nintendo 3DS LL 上画面 (3D) 400×240 New Nintendo 3DS LL 下画面 320×240 New Nintendo 2DS LL 上画面 2017/07/13 400×240 New Nintendo 2DS LL 下画面 320×240 Nintendo Switch 2017/03/03 1280×720 Nintendo Switch Lite 2019/09/20 1280×720 Nintendo Switch OLED Model 2021/10/08 1280×720 SONY PSP-1000 2004/12/12 480×272 ≈10:9 SONY PSP-2000 2007/09/20 480×272 ≈10:9 SONY PSP-3000 2008/10/16 480×272 ≈10:9 SONY PSP Go 2009/11/01 480×272 ≈10:9 SONY PS Vita 2011/12/17 960×544 ≈10:9 SONY PS Vita Slim 2013/10/10 960×544 ≈10:9 SEGA Game Gear 1990/10/06 160×144 SEGA Nomad 1995/10/01 320×224 ATARI Lynx 1989/09/01 160×102 ATARI Lynx II 1991/01/01 160×102 SNK Neo Geo Pocket 1998/10/28 160×152 SNK Neo Geo Pocket Color 1999/03/16 160×152 BANDAI WonderSwan 1999/03/04 224×144 BANDAI WonderSwan Color 2000/12/09 224×144 BANDAI SwanCrystal 2002/07/12 224×144
machine=svga_s3 で有効な EGA/VGA グラフィックスモードINT 0x10 でモード選択可能。
AL bits c/g/m ピクセル数 色数 AX = 0xc 備考 AL=0x04 2 color 320×200 4 ✔︎︎ CGA AL=0x05 2 color 320×200 4 ✔︎ CGA AL=0x06 1 monochrome 640×200 2 ✔︎ DCGA AL=0x08 4 color 160×200 16 ✔︎ hCGA AL=0x09 4 color 320×200 16 ✔︎ CGA AL=0x0a 2 color 640×200 4 ✔︎ DCGA AL=0x0d 4 color 320×200 16 ✔︎ CGA AL=0x0e 4 color 640×200 16 ✔︎ DCGA AL=0x0f 1 monochrome 640×350 2 ✔︎ EGA AL=0x10 4 color 640×350 16 ✔︎ EGA AL=0x11 1 monochrome 640×480 2 ✔︎ VGA AL=0x12 4 color 640×480 16 ✔︎ VGA AL=0x13 8 color 320×200 256 ✔︎ CGA
machine=svga_s3 で有効な SVGA グラフィックスモードAX = 0x4f02 INT 0x10 でモード選択可能。
BX bits c/g ピクセル数 色数 AX = 0xc 備考 BX=0x100 8 color 640×400 256 ✔︎ QCGA BX=0x101 8 color 640×480 256 ✔︎ VGA BX=0x102 4 gray 800×600 16 SVGA BX=0x103 8 color 800×600 256 ✔︎ SVGA BX=0x104 4 gray 1024×768 16 XGA BX=0x105 8 color 1024×768 256 ✔︎ XGA BX=0x106 4 gray 1280×1024 16 SXGA BX=0x107 8 color 1280×1024 256 ✔︎ SXGA BX=0x10e 16 color 320×200 65536 CGA BX=0x10f 32 color 320×200 † CGA BX=0x111 16 color 640×480 65536 VGA BX=0x112 32 color 640×480 † VGA BX=0x114 16 color 800×600 65536 SVGA BX=0x115 32 color 800×600 † SVGA BX=0x117 16 color 1024×768 65536 XGA BX=0x150 8 color 320×200 256 ✔︎ CGA BX=0x151 8 color 320×240 256 ✔︎ qVGA BX=0x152 8 color 320×400 256 ✔︎ hQCGA BX=0x153 8 color 320×480 256 ✔︎ hVGA BX=0x170 16 color 320×240 65536 qVGA BX=0x171 16 color 320×400 65536 hQCGA BX=0x172 16 color 320×480 65536 hVGA BX=0x175 16 color 640×400 65536 QCGA BX=0x190 32 color 320×240 † qVGA BX=0x191 32 color 320×400 † hQCGA BX=0x192 32 color 320×480 † hVGA BX=0x207 8 color 1152×864 256 ✔︎ XGA+ BX=0x20a 16 color 1152×864 65536 ︎ XGA+ BX=0x222 8 color 848×480 256 ✔︎ ≈16:9 BX=0x224 16 color 848×480 65536 ≈16:9 BX=0x225 32 color 848×480 † ≈16:9
ここで、AX = 0xc は INT 0x10 で点描画が可能。
† は 32 ビット中 8 ビットがアルファチャネルとのことで、色数は実質 24 ビット、よって 16,777,216 色。
このページは「比と循環小数の計算」を、単に「ディスプレイの解像度」を題材に Javascript の BigInt を使って実装してみた、というだけで「ディスプレイの解像度」そのものを厳密に言及するつもりはありません。
解像度の規格の名称で使用されている英語をまとめておく。いずれも名詞＝形容詞とのこと。
条件付き確率 \(P(A\!\mid\!B) \equiv \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) の公式
\[ P(A\!\mid\!B) = \dfrac{P(B\!\mid\!A)P(A)}{P(B)} \]美術や建築で頻繁に現れる比率
\[ \varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}2 \]大きな階乗、あるいは、その拡張であるガンマ関数の近似式
\[ \begin{split} n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \text{, where }n\to\infty\text{, }n\in\mathbb{N}\text{, }n! = \Gamma(n+1) = n\Gamma(n)\\ \Gamma(z) &\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\left(\frac{z}{e}\right)^z \text{, where }\lvert z\rvert\to\infty\text{, }z\in\mathbb{C}\text{, }\Gamma(z) = (z-1)! = \frac{z!}z \end{split} \]関数の変化率を示すベクトル演算子
\[ \begin{split} \nabla &= {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}}\\ \nabla &= \sum_{i=1}^n\hat{e}_i{\partial\over\partial x_i}\text{, where }\hat{e}_i\text{ is called standard basis.} \end{split} \]正方行列の行列式 \(\det(A)\) に対するライプニッツの公式
\[ \det(A) = \sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\tau) \prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau(i)} = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod _{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i} \]初項から第 \(n\) 項までの自然数の和を計算する式
\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2 \]\(f(x)\) の時間平均は定数 \(B\) よりも常に小さいことを示す不等式
\[ B \gt \dfrac1T \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x \]指数関数 \(e^x\) の極限としての定義
\[ e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}n\right)^n \]指数関数 \(e^x\) のテイラー級数展開としての定義
\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!} \]\(\operatorname{Card}(\cdot)\) は集合「\(\cdot\)」の濃度として、全標本空間 \(\Omega\) における事象 \(A\) が発生する確率 \(P(A)\)
\[ P(A) = \dfrac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} \]\(\sum\in\mathbb{C}\) において、解析接続による自然数のすべての総和
\[ \sum_{n=0}^\infty n = -\frac1{12} \]cf. 拙著、自然数の総和
対角化可能な形式の正方行列 \(A\)
\[ A = PDP^{−1} \]ここで、\(P\) は \(A\) の固有ベクトルを列として持つ行列、\(D\) は \(A\) の固有値を対角成分として持つ対角行列。
半整数値の階乗、ガンマ関数とガウス積分の関係
\[ \begin{split} \left(\frac12\right)! &= \frac{\sqrt\pi}2\\ &= \Gamma\left(\frac12+1\right) = \frac12\Gamma\left(\frac12\right)\\ \Gamma\left(\frac12\right) &= \sqrt\pi \end{split} \]\(n\) 個から \(k\) 個を選ぶ選び方の総数
\[ \binom{n}k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \]\(x, f(x)\in\mathbb{R}\) におけるリーマン和による定積分の定義
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty}\dfrac{b − a}n\sum_{k=1}^n f\left(a + k\dfrac{b - a}n\right) \]\(f(a)\) の導関数 \(f'(a)\) の定義
\[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a + h) + f(a)}h \]ガウス関数 \(e^{−x^2}\) の実数全体での広義積分
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt\pi \]平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma\) とする正規分布の確率分布関数
\[ f(x) = \dfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \]関数 \(f(t): \mathbb{R}\to\mathbb{R}, t\ge 0, s\in\mathbb{C}\) のラプラス変換の定義
\[ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t \]関数 \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) のフーリエ変換の定義
\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\xi} \]ベクトル場の発散とその領域の表面積分の関係を表すガウスの定理
\[ \iiint_V = (\nabla\cdot\mathbf{F})\,\mathrm{d}V = \oiint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\mathbf{S} \]\(s\in\mathbb{C}\)、\(n\in\mathbb{N}\) におけるゼータ関数の定義
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s} \]
| \ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\ce{{}_{\phantom{00}1}H}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}2}He}\) | ||||||||||||||||
| 2 | \(\ce{{}_{\phantom{00}3}Li}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}4}Be}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}5}B}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}6}C}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}7}N}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}8}O}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}9}F}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}10}Ne}\) | ||||||||||
| 3 | \(\ce{{}_{\phantom{0}11}Na}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}12}Mg}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}13}Al}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}14}Si}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}15}P}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}16}S}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}17}Cl}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}18}Ar}\) | ||||||||||
| 4 | \(\ce{{}_{\phantom{0}19}K}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}20}Ca}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}21}Sc}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}22}Ti}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}23}V}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}24}Cr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}25}Mn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}26}Fe}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}27}Co}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}28}Ni}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}29}Cu}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}30}Zn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}31}Ga}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}32}Ge}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}33}As}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}34}Se}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}35}Br}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}36}Kr}\) |
| 5 | \(\ce{{}_{\phantom{0}37}Rb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}38}Sr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}39}Y}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}40}Zr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}41}Nb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}42}Mo}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}43}Tc}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}44}Ru}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}45}Rh}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}46}Pd}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}47}Ag}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}48}Cd}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}49}In}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}50}Sn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}51}Sb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}52}Te}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}53}I}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}54}Xe}\) |
| 6 | \(\ce{{}_{\phantom{0}55}Cs}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}56}Ba}\) | L | \(\ce{{}_{\phantom{0}72}Hf}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}73}Ta}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}74}W}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}75}Re}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}76}Os}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}77}Ir}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}78}Pt}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}79}Au}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}80}Hg}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}81}Tl}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}82}Pb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}83}Bi}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}84}Po}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}86}Rn}\) |
| 7 | \(\ce{{}_{\phantom{0}87}Fr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}88}Ra}\) | A | \(\ce{{}_{104}Rf}\) | \(\ce{{}_{105}Db}\) | \(\ce{{}_{106}Sg}\) | \(\ce{{}_{107}Bh}\) | \(\ce{{}_{108}Hs}\) | \(\ce{{}_{109}Mt}\) | \(\ce{{}_{110}Ds}\) | \(\ce{{}_{111}Rg}\) | \(\ce{{}_{112}Cn}\) | \(\ce{{}_{113}Nh}\) | \(\ce{{}_{114}Fl}\) | \(\ce{{}_{115}Mc}\) | \(\ce{{}_{116}Lv}\) | \(\ce{{}_{117}Ts}\) | \(\ce{{}_{118}Og}\) |
| L | \(\ce{{}_{57}La}\) | \(\ce{{}_{58}Ce}\) | \(\ce{{}_{59}Pr}\) | \(\ce{{}_{60}Nd}\) | \(\ce{{}_{61}Pm}\) | \(\ce{{}_{62}Sm}\) | \(\ce{{}_{63}Eu}\) | \(\ce{{}_{64}Gd}\) | \(\ce{{}_{65}Tb}\) | \(\ce{{}_{66}Dy}\) | \(\ce{{}_{67}Ho}\) | \(\ce{{}_{68}Er}\) | \(\ce{{}_{69}Tm}\) | \(\ce{{}_{70}Yb}\) | \(\ce{{}_{71}Lu}\) | |||
| A | \(\ce{{}_{89}Ac}\) | \(\ce{{}_{90}Th}\) | \(\ce{{}_{91}Pa}\) | \(\ce{{}_{92}U}\) | \(\ce{{}_{93}Np}\) | \(\ce{{}_{94}Pu}\) | \(\ce{{}_{95}Am}\) | \(\ce{{}_{96}Cm}\) | \(\ce{{}_{97}Bk}\) | \(\ce{{}_{98}Cf}\) | \(\ce{{}_{99}Es}\) | \(\ce{{}_{100}Fm}\) | \(\ce{{}_{101}Md}\) | \(\ce{{}_{102}No}\) | \(\ce{{}_{103}Lr}\) |
ラグランジアン \(L\) によって、その時間積分にて極値をとる経路が実際の運動を表す (作用の原理) 物理系の運動を記述する作用関数
\[ S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t)\, \mathrm{d}t \]ある温度 \(T\) における放射強度が周波数 \(\nu\) に依存する様子を示す、黒体放射におけるプランクの法則
\[ B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \]量子力学における角運動量の異なる成分間のコミュテータ、角運動量の交換関係
\[ \left[\mathrm{L}_x, \mathrm{L}_y\right] = i\hbar \mathbf{L}_z \]物体が放射する総エネルギーは温度の 4 乗に比例するというステファン＝ボルツマンの法則
\[ \varphi = \sigma T^4 \]重力が時空の曲がり (リッチテンソル) によって表現され、その曲がりが物質 (ストレスエネルギー・テンソル) によって引き起こされる様子を記述するアインシュタインの場の方程式
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]磁束 \(\Phi_B\) の磁場の変化が電磁誘導によって起電力 \(\mathcal{E}\) を生み出すことを示すファラデーの法則
\[ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} \]波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 1 次元の波動方程式
\[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \]波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 3 次元の波動方程式
\[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right) \]物質波の波長 \(\lambda\) が運動量 \(p\) に依存することを示すド・ブロイの波長を表す式
\[ \lambda = \frac{h}p \]導電体の電流密度 \(\vec\jmath\) と電場 \(\vec{E}\)、電気抵抗率 \(\rho\) の関係を示すオームの法則のベクトル形式
\[ \vec{E} = \rho\vec\jmath \]電場と磁場を統一的に記述するために使われる場のテンソルによる電磁場テンソルの定義
\[ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \]中性子 \(\mathrm{n}\) が陽子 \(\mathrm{p}\)、電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) および反電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) に崩壊する \(\beta^-\) 崩壊
\[ \mathrm{n}^+ \to \mathrm{p} + \beta^- + \bar\nu_e \]陽子 \(\mathrm{p}\) が陽電子 (ベータ粒子) \(\beta^+\)、電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) および中性子 \(\mathrm{n}\) に崩壊する \(\beta^+\) 崩壊
\[ \mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \beta^+ + \nu_e \]陽子 \(\mathrm{p}\) が軌道上の電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) を捕獲して中性子 \(\mathrm{n}\) に換わり、電子ニュートリノ \(\nu_e\) と特性 X 線になる電子捕獲、\(\beta^+\) 崩壊
\[ \mathrm{p}^{+} + \beta^- \to \mathrm{n} + \nu_e \]流体力学の基本方程式であるナビエ–ストークス方程式
\[ \rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\left(\cdot\nabla\right)\mathbf{u}\right) = -\nabla\bar{p} + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \frac13\mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{a} \]ウラン 235 がトリウム 231 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
原子炉内:
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{141}_{56}Ba + {}^{92}_{36}Kr + 3{}^1_0n} \]自然界:
\[ \ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}]{}^{231}_{90}Th} \]より詳しく:
\[ {\begin{array}{l} {\ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}] {}^{231}_{90}Th ->[\beta^{-}][25.52\ {\ce{h}}] {}^{231}_{91}Pa ->[\alpha][3.276\times10^4\ {\ce{y}}]}}\\ {\ce{{}^{227}_{89}Ac }\begin{Bmatrix} {\ce{ ->[98.62\%\beta^{-}][21.773\ {\ce{y}}] {}^{227}_{90}Th ->[\alpha][18.718\ {\ce{d}}]}}\\ {\ce{ ->[1.38\%\alpha][21.773\ {\ce{y}}] {}^{223}_{87}Fr ->[\beta^{-}][21.8\ {\ce{min}}]}} \end{Bmatrix}} {\ce{{}^{223}_{88}Ra ->[\alpha][11.434\ {\ce{d}}]}}\\ {\ce{{}^{219}_{86}Rn ->[\alpha][3.96\ {\ce{s}}] {}^{215}_{84}Po}} {\begin{Bmatrix} {\ce{ ->[99.99\%\alpha][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{211}_{82}Pb ->[\beta^{-}][36.1\ {\ce{min}}]}}\\{\ce{ ->[2.3\times10^{-4}\%\beta^{-}][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{215}_{85}At ->[\alpha][0.10\ {\ce{ms}}]}} \end{Bmatrix}}\\ {\ce{{}^{211}_{83}Bi}} {\begin{Bmatrix}{\ce{ ->[99.73\%\alpha][2.13\ {\ce{min}}] {}^{207}_{81}Tl ->[\beta^{-}][4.77\ {\ce{min}}]}}\\ {\ce{ ->[0.27\%\beta^{-}][2.13\ {\ce{min}}] {}^{211}_{84}Po ->[\alpha][0.516\ {\ce{s}}]}} \end{Bmatrix}} {\ce{{}^{207}_{82}Pb_{(stable)}}} \end{array}} \]ウラン 238 がトリウム 234 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{238}_{92}U ->[{}^4_2\alpha] {}^{234}_{90}Th ->[{}^0_{-1}\beta^-] {}^\mathrm{234m}_{91}Pa} \]より詳しく:
\[ \begin{array}{l} \ce{{}^{238}_{92}U->[{}^4_2\alpha][4.468\times10^9\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{234}_{90}Th->[{}^0_{-1}\beta^-][24.1\mathrm{\,d}]{}^\mathrm{234m}_{91}Pa} \begin{Bmatrix} \ce{->[0.16\%][1.17\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{234}_{91}Pa->[{}^0_{-1}\beta^-][6.7\mathrm{\,h}]}\\ \ce{->[99.84\%{}^0_{-1}\beta^-][1.17\mathrm{\,min}]} \end{Bmatrix}\\ \ce{{}^{234}_{92}U->[{}^4_2\alpha][2.445\times10^5\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{230}_{90}Th->[{}^4_2\alpha][7.5\times10^4\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{226}_{88}Ra->[{}^4_2\alpha][1600\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{222}_{86}Rn->[{}^4_2\alpha][3.8235\mathrm{\,d}]}\\ \ce{{}^{218}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][3.05\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][26.8\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][19.9\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][164.3\mathrm{\,\mu s}]}\\ \ce{{}^{210}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][22.26\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{210}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][5.012\mathrm{\,d}]} \ce{{}^{210}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][138.38\mathrm{\,d}]} \ce{{}^{206}_{82}Pb} \end{array} \]ストロンチウム 90 がジルコニウム 90 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{90}_{38}Sr ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 0.5459\,MeV][28.79\,y]} \ce{{}^{90}_{39}Y ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.280\,MeV][64.053\,h]} \ce{{}^{90}_{40}Zr} \]トリチウム (水素 3) がヘリウム 3 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^3_1H ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 18.6\,keV][12.32\,y]} \ce{{}^3_2He + \mathit{e}^- + \bar{\nu_\mathit{e}}} \]モリブデン 99 が準安定状態のテクネチウム 99m に \(\beta\) 崩壊し、基底状態のテクネチウム 99 へ \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{99}_{42}Mo ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]} \ce{{}^\mathrm{99m}_{43}Tc ->[\gamma]} \ce{{}^{99}_{43}Tc} \]ヨウ素 131 がキセノン 131 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{131}_{53}I ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 606 keV][8.04\,d]} \ce{{}^{131}_{54}Xe^* ->[\gamma\ 364 keV] {}^{131}_{54}Xe} \]セシウム 134 がバリウム 134 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{134}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.059\,MeV][2.0652\,y]} \ce{{}^{134}_{56}Ba + \mathit{e}^-} \]セシウム 137 がバリウム 137 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{137}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 512.0\,keV][30.07\,y]} \ce{{}^\mathrm{137m}_{56}Ba ->[\gamma\ 661.7\,keV][2.552\,min]} \ce{{}^{137}_{56}Ba} \]オスミウム 192 準安定状態のイリジウム 192m に \(\beta^-\) 崩壊し、基底状態のイリジウム 192 に \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{192}_{76}Os ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]} \ce{{}^\mathrm{192m}_77Ir ->[\gamma]} \ce{{}^{192}_{77}Ir} \]ヨウ素 125 が電子捕獲を経て励起状態のテリウム 125 に変換され、励起状態のテリウム 125 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{125}_{53}I + \mathit{e}^- −>} \ce{{}^{125}_{52}Te^* −>} \ce{{}^{125}_{52}Te} + \nu_\mathit{e} \]コバルト 57 が電子捕獲を経て励起状態の鉄 57 に変換され、励起状態の鉄 57 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{57}_{27}Co + \mathit{e}^- −>} \ce{{}^{57}_{26}Fe^* −>} \ce{{}^{57}_{26}Fe} + \nu_\mathit{e} \]勾配、発散、回転などの微分演算のためのナブラ演算子
\[ \nabla = {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}} \]放射性物質が時間と共に指数関数的に減少する様子を記述する放射性崩壊の法則
\[ N(t) = N_0e^{-\lambda t} \]量子力学における運動量演算子
\[ \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla \]ハイゼンベルク描像における時間発展を記述した方程式
\[ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}} \]角運動量が保存される場合の物理量の振る舞いを示す、角運動量演算子間の交換関係
\[ \hat{\boldsymbol{L}} \times \hat{\boldsymbol{L}} = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}} \] \[ \left[\hat{\boldsymbol{L}}_x, \hat{\boldsymbol{L}_y}\right] = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}}_z \] \[ \left[\hat{\boldsymbol{L}}_i, \hat{\boldsymbol{L}_j}\right] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat{\boldsymbol{L}}_k \]波動関数 \(\psi\) とエネルギー固有値 \(E\) の関係を示す、シュレディンガー方程式の固有値問題
\[ \widehat{H}\psi = E\psi \]ブラックホールの表面積に比例するブラックホールのエントロピーを示す、ベッケンシュタイン・ホーキングの式
\[ S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG} \] \[ S_{\text{BH}} = {\frac{kA}{4{\ell_{\mathrm{P}}}^2}}\text{, where }\ell_{\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\implies \] \[ S_{\text{BH}} = {\frac{4\pi R^2 k c^3}{4G\hbar}}\implies S_{\text{BH}} = {\frac{(2\pi R)^2 k c^3}{hG}}\text{, where }A = 4\pi R^2 \] \[ S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG}\implies S = \frac{(2\pi R)^2 kc^3}{hG}\text{, where }k = k_B \]位置と運動量の測定の精度には限界があることを示す、ハイゼンベルクの不確定性原理
\[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]流体力学のベルヌーイの定理
\[ \frac12\rho v^2 + \rho gz + p = \text{constant} \]量子電磁力学における、電磁気力の強さを表す無次元定数 \(\approx 1/137\) を持つ微細構造定数
\[ \approx \frac1{137} \]リッチスカラー \(R\)、メトリック行列の行列式 \(\sqrt{−g}\) に依存する、重力場のダイナミクスを決定する一般相対性理論における重力場の作用
\[ S = \frac1{2\kappa}\int R\sqrt{-g}\mathrm{d}^4\text{ where }\kappa = \frac{8\pi G}{c^4} \]量子力学の基本定数の一つである、通常のプランク定数 \(h\)を \(2\pi\) で割った値で、角運動量やエネルギーの量子化を記述
\[ \hbar := \frac{h}{2\pi} \]量子力学の基本方程式である波動関数 \(\lvert\psi(t)\rangle\) の時間変化のハミルトニアン \(\hat{H}\) の時間依存シュレーディンガー方程式
\[ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle \]
それぞれの画像にある 22 個の数式について順に解説
直角三角形の斜辺の長さ \(c\), 他の辺の長さ \(a, b\) の関係式
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]アルキメデスらによる円周率の近似、内接および外接の正多角形による
\[ \begin{gather*} \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.1408 < \pi < 3.1429 \\ \frac{355}{113} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.14159292035 < \pi < 3.142857142857 \\ \pi &\approx 3.1415926 < \pi < 3.1415927 % \end{gather*} \]また、\(\pi\) の連分数の漸化式から近似の有理数を求めることができる。一般化された連分数において、
\[ a_0+{\cfrac{b_1}{a_1+{\cfrac{b_2}{a_2+{\cfrac{b_3}{a_3+{_{\ddots}}}}}}}} \] \[ \begin{cases} p_{i+1} &= a_ip_i + b_iq_i\\ q_{i+1} &= p_i \end{cases}\text{, where }p_0 = 1, q_0 = 0, 1\le i+1 \le n \]または、
\[ \begin{cases} p_i &= a_ip_{i-2} + b_ip_{i-1}\\ q_i &= a_iq_{i-2} + b_iq_{i-1} \end{cases}\text{, where }p_{-1} = 1, q_{-1} = 0, p_0 = a_0, q_0 = b_0, 1\le i \le n \]前者の方が単純で効率がよく優れている。以下にいくつかの連分数の計算例を示す。
\[ \begin{split} \pi &= 3+{\cfrac{1^2}{6+{\cfrac{3^2}{6+{\cfrac{5^2}{6+{\cfrac{7^2}{6+\cdots}}}}}}}}\\ &\approx \frac{141}{45} = \frac{47}{15} = 3.1\dot3\text{, where }n=3\\ &\approx \frac{1321}{420} = 3.14\dot52380\dot9\text{, where }n=4 \end{split} \] \[ \begin{split} \pi &= {\cfrac{4}{1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+\cdots}}}}}}}}\\ &\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=6\\ &\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=7\\ &\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\cdots\text{, where }n=12 \end{split} \] \[ \begin{split} \cfrac4\pi &= 1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+{\cfrac{4^2}{9+{\cfrac{5^2}{11+{\cfrac{6^2}{\cdots}}}}}}}}}}}}\\ \pi &\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=5\\ \pi &\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=6\\ \pi &\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\dots\text{, where }n=11\\ \end{split} \] \[ \begin{split} \pi &= 3+\textstyle{\cfrac{1}{7+\textstyle{\cfrac{1}{15+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{292+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}\\ &\approx \frac{355}{113} = 3.1415929\cdots\text{, where }n=4\\ &\approx \frac{104348}{33215} = 3.1\dot41592653921421044708715\dot9\text{, where }n=6 \end{split} \]パスカルの三角形は二項係数
\[ {n-1\choose k-1} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \]ネイピア数 \(e\)、虚数単位 \(i\)、円周率 \(\pi\)、乗法の単位元 \(1\)、加法の単位元 \(0\) の関係式
\[ \begin{split} e^{i\pi} &+ 1 = 0\\ e^{i\varphi} &= \cos\varphi + i\sin\varphi\text{, where }\varphi=\pi \end{split} \] \[ \sum_{k=0}^{n-1}e^{i\cdot\frac {2\pi }{n}k} = 0\text{, where }n=2 \]\(z_1, z_2\in\mathbb{C}\) かつ \(\Re(z_1), \Re(z_2)>0\) におけるベータ関数の定義とガンマ関数との関係式
\[ \begin{split} \operatorname{B}(z_1,z_2) &=\int_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\mathrm{d}t\\ &= \frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)} \end{split} \]ガウス積分は \(\mathbb{R}^2\) 直交座標系の二重積分、及び、極座標系の二重積分の平方根となることで計算可能
\[ \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x &= \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\mathrm{d}y} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y} =\\ \sqrt{\iint_{\mathbb{R} ^2}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dx\mathrm{d}y} &= \sqrt{\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta} = \sqrt{2\pi\int_0^{\infty}re^{-r^2}\mathrm{d}r}\text{, where }s = -r^2\\ &= \sqrt{2\pi\int_{-\infty}^0{\tfrac12}e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\pi\int_{-\infty}^0e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\lim_{x\to-\infty}\pi\left(e^0-e^{x}\right)}\\ &= \sqrt{\pi} \end{split} \]\(Z_n, c\in\mathbb{C}\) について以下のような漸化式の \(n\to\infty\) において発散しない \(c\) の集合
\[ z_{n+1} = z_n^2 + c\text{, where }z_0 = 0 \]\(x, y, z \ge 3\in\mathbb{Z}\) において以下の等式は成立しないという定理
\[ x^n + y^n = z^n \]デカルト座標系 (Cartesian coordinate system) \(\mathbb{R}^d\) 上の 2-norm \(d\)-開球体と \(p\)-norm \(d\)-開球体の定義式
\[ \begin{split} B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt{\sum_{i=1}^d(y_i-x_i)^2} < r\right\}\\ B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt[p]{\sum_{i=1}^d\left\lvert y_i-x_i\right\rvert^p} < r\right\} \end{split} \]質量-バネ-ダンパーモデル (mass-spring-damper model) の運動方程式
\[ \ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = f(t) \]外力が \(F = 0\) のとき
\[ \ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = 0\text{, where }F = 0 \] \[ x(t) = e^{\lambda t}\quad\implies \] \[ \lambda^2 e^{\lambda t} + \frac{c}m \lambda e^{\lambda t} + \frac{k}m e^{\lambda t} = 0\quad\implies \] \[ \lambda^2 + \frac{c}m \lambda + \frac{k}m = 0\quad\implies \] \[ \lambda = – \frac{c}{2m} \pm \frac12 \sqrt{\left(\frac{c}m \right)^2 – \frac{4k}m} \]過減衰、臨海減衰、不足減衰の３つの解
\[ x(t) = \begin{cases} C_1 e^{-\lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 > \frac{4k}m\\ C_1 e^{-\lambda t} + C_2 t e^{-\lambda t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 = \frac{4k}m \implies c = 2\sqrt{k m}\\ e^{-\frac{c}{2m} t}\left(A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t)\right)\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 < \frac{4k}m\text{, }\lambda = \alpha \pm \beta i \end{cases} \]熱力学温度 \(T\)、圧力 \(p\)、モル気体定数 \(R\) における物質量 \(n\) の体積 \(V\) の理想気体の状態方程式
\[ pV = nRT \]パイプやチューブ内の流れのレイノルズ数は、 パイプの水力直径、もしくは、内径 \(D_\mathrm{H}\) (\(\mathrm{m}\))、 体積流量 \(Q\) (\(\mathrm{\,m^3s^{-1}}\))、 パイプの断面積 \(A = \frac{\pi D^2}4\mathrm{\,m^2}\)、 流体の平均速度 \(u\mathrm{\,ms^{-1}}\)、 流体の動粘度 \(\mu\mathrm{\,Pa\cdot s, N\cdot sm^{-2}, kg\cdot m^{-1}s^{-1}}\)、 動粘性係数 \(\mu = \frac\mu{ν} \mathrm{\,m^2s^{-1}}\)、 流体の密度 \(\rho\mathrm{\,kg\cdot m^3}\)、 流体の質量流量 \(W\mathrm{\,kg\cdot s^{-1}}\) のとき、 次のように定義
\[ \mathrm{Re} = {\frac{uD_\mathrm{H}}{\nu}} = {\frac{\rho uD_\mathrm{H}}{\mu}} = {\frac{\rho QD_\mathrm{H}}{\mu A}} = {\frac{WD_\mathrm{H}}{\mu A}} \]媒体中の波の伝播速度 \(c\)、媒体に対する受信機の速度 \(v_{\mathrm{r}}\)、媒体に対する音源の速度 \(v_{\mathrm{s}}\) において、観測される周波数 \(f\) と放射周波数 \(f_0\) のドップラー効果
\[ \begin{split} f &= \left(1+{\frac{\Delta v}{c}}\right)f_0\text{ where }\Delta v = -(v_{\mathrm{r}}-v_{\mathrm{s}})\\ &= \left({\frac{c\pm v_{\mathrm{r}}}{c\mp v_{\mathrm{s}}}}\right)f_0 \end{split} \]万有引力定数 \(G\)、物体の質量 \(m_1\), \(m_2\)、物体間の距離 \(r\) のときの万有引力 \(F\)
\[ F = G\frac{m_1m_2}{r^2} \]質点の加速度 \(\boldsymbol{a}\) は、その質点に作用する力 \(\boldsymbol{F}\) に比例し、その質点の質量 \(m\) に反比例するというデカルト座標系上の運動方程式、ニュートン力学の第二法則
\[ \begin{split} \boldsymbol{F} &= \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\text{, where }\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{F} &= m{\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}} = m{\frac{\mathrm{d}^{2}{\boldsymbol{r}}}{\mathrm{d}t^{2}}} = m\boldsymbol{a} \end{split} \]一般化座標系上の運動エネルギー \(T\) とポテンシャル \(V\) の差であるラグランジアン \(\mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t) = T - V\) に関する運動方程式
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}\right) = 0 \]より正確には:
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}(q(t),\dot{q}(t),t)-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}(q(t),\dot{q}(t),t)\right) = 0 \]交換相互作用定数 \(J\)、外部磁場 \(h\)、格子点 \(i\) 上のスピン \(\sigma_i\) (\(\pm1\)) におけるイジング模型のハミルトニアン
\[ H(\sigma) = -\sum_{\langle i j\rangle}J_{ij}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_j h_j\sigma_j \]時刻 \(t\), 位置ベクトル \(\mathbf{r}\), 電場の強度 \(\mathbf{E}\), 電束密度 \(\mathbf{D}\), 磁束密度 \(\mathbf{B}\), 磁場の強度 \(\mathbf{H}\), 真空の誘電率 \(\varepsilon_0\), 真空の透磁率 \(\mu_0\), 電荷密度 \(\rho\), 電流密度 \(\mathbf{J}\) からなる連立偏微分方程式による古典電磁気学の基礎方程式
\[ \begin{cases} \begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D} &= {\rho} \iff \nabla\cdot\mathbf{E} = {\frac{\rho}{\varepsilon_0}} &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\ \nabla\times\mathbf{E} &= -{\frac{\partial\mathbf{B} }{\partial t}} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} + {\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} \iff \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} +\varepsilon_0{\frac{\partial\mathbf{E} }{\partial t}}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law} \end{aligned} \end{cases} \]及び、その積分形式
\[ \begin{cases} \begin{aligned} \oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= {\frac1{\varepsilon_0}}\iiint_{\Omega}\rho\,\mathrm{d} V &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\ \oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\ \oint_{\partial\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= -{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\ \oint_{\partial\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= \mu_0\left(\iint_{\Sigma}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} + \varepsilon_0{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law} \end{aligned} \end{cases} \]但し、真空中につき、分極 \(\mathbf{P}\)、磁化 \(\boldsymbol{M}\) は \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{M} = 0\) なので、
\[ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P},\quad\boldsymbol{H} = \frac1{\mu_0}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M} \] \[ \mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E},\quad\mathbf{H} = {\frac1{\mu_0}}\mathbf{B} \]\(c\) を光速度として静止座標系における質量 \(m\) とエネルギー \(E\) の関係式
\[ E = mc^2 \]4 次元時空における 2 点間の無限小距離 \(\mathrm{d}s\)、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)、時空の各座標軸に沿った無限小変位 \(\mathrm{d}x^\mu\), \(\mathrm{d}x^\nu\) において、以下が成り立つ。
\[ \mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu \]量子力学における量子の状態ベクトル \(\lvert\psi(t)\rangle\) に関する基礎方程式
\[ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle \]「H」と「S」は順にハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像の観測量、観測量 \(A\)、ハミルトニアン \(H\)、\(H\) と \(A\) の交換演算子 \([\cdot,\cdot]\) におけるハイゼンベルクの運動方程式
\[ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}} \]フェルミ粒子のためのディラック場 \(\psi(x)\) における基礎方程式
\[ i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x)-m\psi(x) = 0 \]ニュートリノを表すスピノル \(\nu\)、ニュートリノのチャージ共役 \(\nu^C\)、ニュートリノとそのチャージ共役のディラック共役 \(\bar\nu\), \(\bar\nu^C\)、ニュートリノの質量項 \(m\) におけるマヨラナ質量項
\[ -\frac{m}2\left(\bar\nu^C\nu + \bar\nu\nu^C\right) \]2024 年現在、これは未だ解決していない。
U235 の核分裂反応において、Ba139 と Kr95 が生成される化学式
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n} \]原子炉内での制御された核分裂反応や核分裂兵器 (原子爆弾)、核燃料の再処理でみられる。
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{236}_{92}U^* -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n} \]素粒子物理学における、一般相対性理論 (時空と重力)、ゲージ理論 (電磁力、弱い相互作用、強い相互作用)、ヒッグス機構、フェルミオン (物質粒子) などの相互作用を包括的に含む標準模型 (Standard Model) のラグランジアンを統合した式
\[ W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left[ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{ i \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{m_p^2}{2} R - \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu} + i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i + \left( \bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c. \right) - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \right] \right\} \]
量子力学と経路積分 — 以下の項は、量子力学的な経路積分 (ファインマン積分) により重力場 \(g\)、ゲージ場 \(A\)、フェルミオン場 \(\psi\)、ヒッグス場 \(\Phi\) の理論を記述している。
\[ W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left\{ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{i\cdots\right\} \]重力、ゲージ場 — 以下の項は、一般相対性理論の重力場のラグランジアン \(\frac{m_p^2}{2} R\) とゲージ場 (電磁場や強い相互作用、弱い相互作用) を記述している。
\[ \int d^4x \sqrt{-g}, \] \[ \frac{m_p^2}{2} R, \] \[ - \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu} \]フェルミオン場 — 以下の項は、電子、クォークなどの物質粒子であるフェルミオンとそれに伴うディラック方程式を記述しており、ディラック行列 \(\gamma^\mu\)、共変微分 \(D_\mu\) を表す。
\[ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i \]フェルミオンとヒッグス場の相互作用 — 以下の項は、ヒッグス場 \(\Phi\) と左巻きと右巻きのフェルミオンの相互作用を表し、ヒッグス機構により、フェルミオンが質量を得るための重要な要素。
\[ \bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c. \]ヒッグス場 — 以下の項は、ヒッグス場の運動項とポテンシャル項 \(- V(\Phi)\) が含まれ、ヒッグス場の自発的対称性の破れにより、ゲージボソンとフェルミオンが質量を獲得する。 \[ - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \] \[ \begin{gather*} \maltese\\ \maltese\\ \maltese\\ %\maltese\\ %\maltese\\ %\maltese\\ \maltese \end{gather*} \]
それぞれの画像にある 3 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な数学定数を示す。但し、整数 \(\mathbb{Z}\), 有理数 \(\mathbb{Q}\), 代数的数 \(\mathbb{A} := \overline{\mathbb{Q}}\), 超越数 \(\mathbb{T} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{A}\), 無理数 \(\mathbb{I} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{Q}\), 実数 \(\mathbb{R}\), 複素数 \(\mathbb{C}\), 四元数 \(\mathbb{H}\) とする。
それぞれの画像にある 4 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な物理定数を示す。
以下、HP 35S 関数電卓に搭載の物理定数をそのまま示す。
cf. Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, ``CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No.6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000.
\[{\large \begin{align*} \substack{0\\\frac12\\<1.0\mathrm{\,eVc^{-2}}}~ &\mu_e\text{ — 電子ニュートリノ} & \substack{0\\\frac12\\<0.17\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu_\mu\text{ — ミューニュートリノ} & \substack{0\\\frac12\\<18.2\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu_\tau\text{ — タウニュートリノ} \\ % \substack{-1\\\frac12\\\approx0.511\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &e\text{ — 電子} & \substack{-1\\\frac12\\\approx105.66\mathrm{\,MeVc^{-2}}}~ &\mu\text{ — ミュー粒子} & \substack{-1\\\frac12\\\approx1.7768\mathrm{\,GeVc^{-2}}}~ &\tau\text{ — タウ粒子} \\ \end{align*} }\]
体 \(\mathbb{Q}\) からスタートして、次の形の体拡大: \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) — 有理数体に \(\sqrt{2})\) を付け加えたもの \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) — 有理数体に \(\sqrt{3})\) を付け加えたもの \(\mathbb{Q}(\sqrt{6})\) — 有理数体に \(\sqrt{6})\) を付け加えたもの、\(\sqrt{2}\sqrt{3})\) より \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) — \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) と \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) の両方を含む拡大体 これらは段階的に拡大されていく体で、最も大きな体 \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) がガロア拡大
ガロア拡大のガロア群は、その拡大体上の自動同型群であり、体の構造を保つ変換。この例におけるガロア群は次の通り:
\(\{1, f, g, fg\}\) — \(f\) は \(\sqrt{2})\) を \(-\sqrt{2})\)、\(g\) は \(\sqrt{3})\) を \(-\sqrt{3})\) に写す変換。
それぞれの組み合わせでできる変換がガロア群の元
\(\{1, f\}\) — \(f\) による変換のみが可能な部分群 \(\sqrt{2}\) のみが関わる拡大に対応
\(\{1, g\}\) — \(g\) による変換のみが可能な部分群 \(\sqrt{3}\) のみが関わる拡大に対応
\(\{1, fg\}\) — 両方の変換が組み合わさる場合の部分群
和名 英名 符号 3文字記号 解説 コドン アラニン Alanine A Ala 非極性・疎水性。エネルギー供給や筋肉代謝に重要。 GCU, GCC, GCA, GCG アルギニン Arginine R Arg 塩基性。尿素回路や一酸化窒素 (NO) 生成に関与。 CGU, CGC, CGA, CGG, AGA, AGG アスパラギン Asparagine N Asn 極性。タンパク質の糖鎖付加に関与。 AAU, AAC アスパラギン酸 Aspartic acid D Asp 酸性。興奮性神経伝達物質としても働く。 GAU, GAC システイン Cysteine C Cys 極性。ジスルフィド結合でタンパク質を安定化。 UGU, UGC グルタミン Glutamine Q Gln 極性。アンモニア代謝と免疫に関与。 CAA, CAG グルタミン酸 Glutamic acid E Glu 酸性。神経伝達物質や代謝に関与。 GAA, GAG グリシン Glycine G Gly 非極性。コラーゲンに多く含まれ、柔軟性を提供。 GGU, GGC, GGA, GGG ヒスチジン Histidine H His 塩基性。pH依存のプロトン移動を行い、酵素活性に関与。 CAU, CAC イソロイシン Isoleucine I Ile 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉のエネルギー源。 AUU, AUC, AUA ロイシン Leucine L Leu 非極性・分岐鎖アミノ酸。タンパク質合成促進に重要。 UUA, UUG, CUU, CUC, CUA, CUG リシン Lysine K Lys 塩基性。タンパク質修飾やカルニチン合成に関与。 AAA, AAG メチオニン Methionine M Met 非極性。開始コドンで、メチル供与体としても重要。 AUG フェニルアラニン Phenylalanine F Phe 非極性・芳香族アミノ酸。神経伝達物質の前駆体。 UUU, UUC プロリン Proline P Pro 非極性。タンパク質の二次構造に独特の影響を与える。 CCU, CCC, CCA, CCG セリン Serine S Ser 極性。糖鎖付加や代謝の中間体として重要。 UCU, UCC, UCA, UCG, AGU, AGC スレオニン Threonine T Thr 極性。リン酸化される部位として重要。 ACU, ACC, ACA, ACG トリプトファン Tryptophan W Trp 非極性。セロトニンやメラトニンの前駆体。 UGG チロシン Tyrosine Y Tyr 極性。ホルモンや神経伝達物質の前駆体。 UAU, UAC バリン Valine V Val 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉代謝に関与。 GUU, GUC, GUA, GUG 終止コドン Stop * Stop 翻訳終了を示すシグナル。 UAA, UAG, UGA
画像にある 30 個の鉱物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
画像にある 42 個の水生動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
画像にある 72 種の絶滅危惧動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
さまざまな環境問題や密猟などによって絶滅の危機に瀕しており、保護活動が重要
画像にある 42 種の昆虫について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
行列 \(\Sigma\) (\(\in\mathbb{K}^{m\times n}\)) の対角要素は行列 \(M\) (\(\in\mathbb{K}^{m\times n}\)) の少なくとも 1 つ、高々 \(q\) (\(= \operatorname{min}(m, n)\)) 個の特異値に等しく、ユニタリ行列 \(U\) (\(\in\mathbb{K}^m\)), \(V\) (\(\in\mathbb{K}^n\)) は順に左特異ベクトル、右特異ベクトルとして、以下の分解が存在する。 \[ M = U\Sigma V^* \]
ブラックホールのホーキング輻射に関するベッケンシュタイン=ホーキングの公式。ブラックホールのエントロピー \(S\), 光速 \(c\), ボルツマン定数 \(k\), ブラックホールの事象の地平面（イベントホライズン）の面積 \(A\), ディラック定数 \(\hbar\), 万有引力定数 \(G\) として、 \[ S = \frac{c^3kA}{4\hbar G} \] この式から、ブラックホールのエントロピー \(S\) はその事象の地平面の面積 \(A\) に比例することがわかる。
以下の導出は誤りである。 \[ \begin{gather*} A = B \\ A^2 = AB \\ 2A^2 = A^2 + AB \\ 2A^2 - 2AB = A^2 + AB - 2AB \\ 2A^2 - 2AB = A^2 - AB \\ 2A(A - B) = A(A - B) \\ 2A = A \\ \text{(ここで、\(A = B\) ゆえに \(A - B = 0\) で除算を行ってしまっている。)}\\ 2 = 1 \end{gather*} \]
\[ \begin{split} E_n &= \frac{h^2}{8ml^2}n^2 = \frac{(2\hbar\pi)^2}{8ml^2}n^2 = \frac{4\hbar^2\pi^2}{8ml^2}n^2 \\ &= \frac{\hbar^2\pi^2}{2ml^2}n^2 \end{split} \] これは、一見 (主観的に) 見慣れないけれども、以上のようにプランク定数からディラック定数に置き換えれば、 (主観的に) 見慣れた、１次元の井戸型ポテンシャル中の自由電子のエネルギー順位差となる。
Written by Taiji Yamada at 2024/07/07