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二項係数は、日本の初等教育では \({}_n\mathrm{C}_k\) のように表され、これは \(\dbinom{n}{k}\) に等しい。
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<h3>二項係数の性質</h3>
<p>
\[
\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1
\]
\[
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}
\]
上式はパスカルの三角形の端がすべて \(1\) であることを表し、下式はそれ以外の\((n, k)\)の数がパスカルの三角形の一つ前の次数の左\((n-1, k-1)\)と右\((n-1, k)\)の数の和であることを表している。
\[
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}
\]
上式はパスカルの三角形が左右対称であることを表している。
\[
k\dbinom{n}{k} = n\dbinom{n-1}{k-1}
\]
上式は\((n,k)\)の数の \(k\) 倍がパスカルの三角形の一つ前の次数の左\((n-1, k-1)\)の数の \(n\) 倍に等しいことを表している。
\[
\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k} = 2^n
\]
上式はパスカルの三角形で各行における総和が \(2\) の整数冪であることを表している。
</p>
<p>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">パスカルの三角形（二項係数）</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th><th> 7</th><th> 8</th><th> 9</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>1</td></tr>
<tr><th>1</th><td>1</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr>
<tr><th>3</th><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td></tr>
<tr><th>4</th><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>4</td><td>1</td></tr>
<tr><th>5</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>10</td><td>5</td><td>1</td></tr>
<tr><th>6</th><td>1</td><td>6</td><td>15</td><td>20</td><td>15</td><td>6</td><td>1</td></tr>
<tr><th>7</th><td>1</td><td>7</td><td>21</td><td>35</td><td>35</td><td>21</td><td>7</td><td>1</td></tr>
<tr><th>8</th><td>1</td><td>8</td><td>28</td><td>56</td><td>70</td><td>56</td><td>28</td><td>8</td><td>1</td></tr>
<tr><th>9</th><td>1</td><td>9</td><td>36</td><td>84</td><td>126</td><td>126</td><td>84</td><td>36</td><td>9</td><td>1</td></tr>
</tbody>
</table>
</p>
<h3>二項係数の階乗表示</h3>
<p>
\[
\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
これを用いて、性質の式を確かめるとよい。
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